Номер 7, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 7, страница 145.

Условие.

7. Упростить $(a^{-3}-b^{-3}) : (a^{-1}-b^{-1}) \cdot a^2b^2 + ab.$

Решение 1.

Решение 4.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку, соблюдая их приоритет: сначала действия в скобках, затем деление и умножение (слева направо), и в конце сложение.

Исходное выражение: $(a^{-3} - b^{-3}) : (a^{-1} - b^{-1}) \cdot a^2b^2 + ab$.

1. Упростим выражение в первых скобках $(a^{-3} - b^{-3})$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем:

$a^{-3} - b^{-3} = \frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}$

Приводим дроби к общему знаменателю $a^3b^3$:

$\frac{1 \cdot b^3}{a^3 \cdot b^3} - \frac{1 \cdot a^3}{b^3 \cdot a^3} = \frac{b^3 - a^3}{a^3b^3}$

2. Упростим выражение во вторых скобках $(a^{-1} - b^{-1})$.

Аналогично первому шагу:

$a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$

Приводим дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{1 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b - a}{ab}$

3. Выполним деление результатов шагов 1 и 2.

$(a^{-3} - b^{-3}) : (a^{-1} - b^{-1}) = \frac{b^3 - a^3}{a^3b^3} : \frac{b - a}{ab}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$\frac{b^3 - a^3}{a^3b^3} \cdot \frac{ab}{b - a}$

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ для числителя $b^3 - a^3$:

$b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$

Подставим разложенное выражение в нашу дробь:

$\frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2)}{a^3b^3} \cdot \frac{ab}{b - a} = \frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2)ab}{a^3b^3(b - a)}$

Сократим одинаковый множитель $(b - a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(b^2 + ab + a^2)ab}{a^3b^3}$

Теперь сократим степени переменных $a$ и $b$:

$\frac{a^2 + ab + b^2}{a^{3-1}b^{3-1}} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2}$

4. Умножим полученный результат на $a^2b^2$.

$\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2} \cdot a^2b^2$

Сокращаем $a^2b^2$ в числителе и знаменателе:

$a^2 + ab + b^2$

5. Выполним сложение с последним членом исходного выражения.

$(a^2 + ab + b^2) + ab = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Ответ: $(a + b)^2$.