Страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Вычислить:

1) $10^2$; $0.1^2$; $\left(\frac{3}{7}\right)^2$; $\left(-1\frac{1}{2}\right)^2$;

2) $10+4\cdot(-7)$; $-3\cdot15-8$.

1)

Вычислим значение каждого выражения по очереди.

Для выражения $10^2$:
Возведение в квадрат означает умножение числа на само себя.
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
Ответ: $100$

Для выражения $0,1^2$:
$0,1^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$
Ответ: $0,01$

Для выражения $(\frac{3}{7})^2$:
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.
$(\frac{3}{7})^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$
Ответ: $\frac{9}{49}$

Для выражения $(-1\frac{1}{2})^2$:
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$-1\frac{1}{2} = -(\frac{1 \cdot 2 + 1}{2}) = -\frac{3}{2}$
Теперь возведем в квадрат. Отрицательное число в четной степени (в данном случае 2) дает положительный результат.
$(-\frac{3}{2})^2 = \frac{(-3)^2}{2^2} = \frac{9}{4}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число или десятичную дробь.
$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$
Ответ: $2,25$

2)

Вычислим значение каждого выражения, соблюдая порядок действий (сначала умножение/деление, затем сложение/вычитание).

Для выражения $10 + 4 \cdot (-7)$:
1. Сначала выполняем умножение: $4 \cdot (-7) = -28$
2. Затем выполняем сложение: $10 + (-28) = 10 - 28 = -18$
Ответ: $-18$

Для выражения $-3 \cdot 15 - 8$:
1. Сначала выполняем умножение: $-3 \cdot 15 = -45$
2. Затем выполняем вычитание: $-45 - 8 = -53$
Ответ: $-53$

2. Сравнить:

1) $27^2$ и $27,1^2$;

2) $\left(\frac{3}{8}\right)^2$ и $\left(\frac{5}{8}\right)^2$;

3) $\left(-\frac{1}{4}\right)^2$ и $\left(-\frac{3}{4}\right)^2$.

1) Для сравнения чисел $27^2$ и $27,1^2$ рассмотрим свойство функции $y = x^2$. Эта функция является возрастающей для всех положительных значений аргумента $x$. Это означает, что для любых положительных чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то $a^2 > b^2$.
Сравним основания степеней: $27,1$ и $27$.
Очевидно, что $27,1 > 27$.
Поскольку оба числа положительные, их квадраты будут находиться в том же соотношении: $27,1^2 > 27^2$.
Таким образом, $27^2 < 27,1^2$.
Ответ: $27^2 < 27,1^2$.

2) Необходимо сравнить $(\frac{3}{8})^2$ и $(\frac{5}{8})^2$.
Основания степеней — это положительные дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{8}$.
Сравним их. Так как знаменатели дробей одинаковы, сравним их числители. Поскольку $3 < 5$, то $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$.
Как и в предыдущем пункте, используем свойство возрастания функции $y=x^2$ для положительных чисел. Из неравенства $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$ следует, что $(\frac{3}{8})^2 < (\frac{5}{8})^2$.
Для проверки можно вычислить значения: $(\frac{3}{8})^2 = \frac{3^2}{8^2} = \frac{9}{64}$ и $(\frac{5}{8})^2 = \frac{5^2}{8^2} = \frac{25}{64}$.
Сравнивая дроби $\frac{9}{64}$ и $\frac{25}{64}$, получаем $\frac{9}{64} < \frac{25}{64}$, что подтверждает наш вывод.
Ответ: $(\frac{3}{8})^2 < (\frac{5}{8})^2$.

3) Сравним $(-\frac{1}{4})^2$ и $(-\frac{3}{4})^2$.
При возведении любого действительного числа в квадрат результат всегда будет неотрицательным (больше или равен нулю).
Вычислим значение каждого выражения:
$(-\frac{1}{4})^2 = (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$.
$(-\frac{3}{4})^2 = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16}$.
Теперь сравним полученные положительные дроби: $\frac{1}{16}$ и $\frac{9}{16}$.
Поскольку у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители: $1 < 9$, следовательно, $\frac{1}{16} < \frac{9}{16}$.
Таким образом, $(-\frac{1}{4})^2 < (-\frac{3}{4})^2$.
Ответ: $(-\frac{1}{4})^2 < (-\frac{3}{4})^2$.

3. Найти положительное число, квадрат которого равен:

$49$

$0.04$

49

Задача состоит в том, чтобы найти такое положительное число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = 49$. Для решения этого уравнения необходимо извлечь квадратный корень из обеих его частей. Операция извлечения квадратного корня является обратной к возведению в квадрат.

$x = \pm\sqrt{49}$

Квадратный корень из 49 равен 7, так как $7 \times 7 = 49$. Следовательно, уравнение имеет два решения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$. Поскольку в условии задачи требуется найти положительное число, мы выбираем корень $x = 7$.

Проверка: $7^2 = 49$.

Ответ: 7

0,04

Аналогично, необходимо найти положительное число $y$, такое что $y^2 = 0,04$. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$y = \pm\sqrt{0,04}$

Для удобства вычисления можно представить десятичную дробь 0,04 в виде обыкновенной дроби: $0,04 = \frac{4}{100}$. Тогда извлечение корня будет выглядеть так:

$y = \pm\sqrt{\frac{4}{100}} = \pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \pm\frac{2}{10} = \pm0,2$

Уравнение имеет два решения: $y_1 = 0,2$ и $y_2 = -0,2$. Согласно условию, мы ищем положительное число, поэтому выбираем $y = 0,2$.

Проверка: $0,2^2 = 0,2 \times 0,2 = 0,04$.

Ответ: 0,2

4. Найти отрицательное число, квадрат которого равен: 64; 0,16.

64

Задача состоит в том, чтобы найти отрицательное число, которое при возведении в квадрат даёт 64. Пусть это число будет $x$. Тогда мы можем составить уравнение:
$x^2 = 64$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у любого положительного числа есть два квадратных корня: один положительный и один отрицательный.
Для уравнения $x^2 = a$ (где $a > 0$) корнями являются $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.

В нашем случае $a=64$. Найдём оба корня:
$x_1 = \sqrt{64} = 8$
$x_2 = -\sqrt{64} = -8$

По условию задачи нам необходимо найти именно отрицательное число. Из двух полученных корней ($8$ и $-8$) отрицательным является $-8$.

Проверим результат: $(-8)^2 = (-8) \times (-8) = 64$. Условие выполняется.

Ответ: -8

0,16

Аналогично предыдущему пункту, найдём отрицательное число, квадрат которого равен 0,16. Пусть это число будет $y$. Составим уравнение:
$y^2 = 0,16$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $y$. Корнями будут $y = \sqrt{0,16}$ и $y = -\sqrt{0,16}$.

Вычислим значение $\sqrt{0,16}$. Для удобства можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,16 = \frac{16}{100}$.
$\sqrt{0,16} = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0,4$.

Таким образом, корни уравнения $y^2 = 0,16$ это:
$y_1 = 0,4$
$y_2 = -0,4$

Согласно условию задачи, нам нужно найти отрицательное число. Из двух полученных корней ($0,4$ и $-0,4$) отрицательным является $-0,4$.

Проверим результат: $(-0,4)^2 = (-0,4) \times (-0,4) = 0,16$. Условие выполняется.

Ответ: -0,4

5. Найти положительный корень уравнения:

1) $(x-2)(x+3)=0;$

2) $(x-7)(x+7)=0.$

1)

Дано уравнение $(x-2)(x+3) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что либо первый множитель равен нулю, либо второй.

Приравниваем каждый множитель к нулю и решаем получившиеся уравнения:

$x - 2 = 0$

$x_1 = 2$

или

$x + 3 = 0$

$x_2 = -3$

Корнями уравнения являются числа $2$ и $-3$. По условию задачи необходимо найти положительный корень. Из двух найденных корней, $2$ является положительным числом ($2 > 0$), а $-3$ — отрицательным.

Ответ: 2

2)

Дано уравнение $(x-7)(x+7) = 0$.

Используем тот же принцип, что и в первом пункте: произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 7 = 0$

$x_1 = 7$

или

$x + 7 = 0$

$x_2 = -7$

Корнями уравнения являются числа $7$ и $-7$. В задаче требуется найти положительный корень. Сравнивая корни, видим, что $7$ — положительное число ($7 > 0$), а $-7$ — отрицательное.

Ответ: 7

6. При каких значениях $x$ значение выражения $2x-3$ является:

1) положительным числом;

2) неотрицательным числом?

1) положительным числом

Чтобы значение выражения $2x - 3$ было положительным, оно должно быть строго больше нуля. Это условие можно записать в виде неравенства:

$2x - 3 > 0$

Для решения этого неравенства сначала перенесем слагаемое $-3$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$2x > 3$

Теперь разделим обе части неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не меняется:

$x > \frac{3}{2}$

Переведем дробь в десятичный вид:

$x > 1.5$

Это означает, что выражение $2x - 3$ будет положительным при всех значениях $x$, которые строго больше 1,5.

Ответ: $x > 1.5$ (или в виде интервала $x \in (1.5; +\infty)$).

2) неотрицательным числом

Чтобы значение выражения $2x - 3$ было неотрицательным, оно должно быть больше или равно нулю. Составим соответствующее неравенство:

$2x - 3 \ge 0$

Решим это неравенство. Перенесем $-3$ в правую часть с противоположным знаком:

$2x \ge 3$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{3}{2}$

Или в десятичном виде:

$x \ge 1.5$

Это означает, что выражение $2x - 3$ будет неотрицательным при всех значениях $x$, которые больше или равны 1,5.

Ответ: $x \ge 1.5$ (или в виде интервала $x \in [1.5; +\infty)$).

373. 1) Найти сторону квадрата, если его площадь равна: $81 \text{ дм}^2$; $0,64 \text{ км}^2$; $\frac{36}{49} \text{ мм}^2$.

2) Решить графически уравнение: $x^2 = 4$; $x^2 = 16$.

1)

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата. Чтобы найти сторону квадрата, необходимо извлечь арифметический квадратный корень из его площади, так как длина стороны не может быть отрицательной: $a = \sqrt{S}$.

Если площадь равна 81 дм², то сторона квадрата $a = \sqrt{81} = 9$ дм.

Ответ: 9 дм.

Если площадь равна 0,64 км², то сторона квадрата $a = \sqrt{0,64} = 0,8$ км.

Ответ: 0,8 км.

Если площадь равна $\frac{36}{49}$ мм², то сторона квадрата $a = \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$ мм.

Ответ: $\frac{6}{7}$ мм.

2)

Для графического решения уравнения вида $x^2 = c$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: параболу $y = x^2$ и прямую $y = c$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков являются корнями исходного уравнения.

Для уравнения $x^2 = 4$: строим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 4$. Прямая пересекает параболу в точках, абсциссы которых равны -2 и 2. Эти значения и являются решениями уравнения.

Ответ: -2; 2.

Для уравнения $x^2 = 16$: строим параболу $y = x^2$ и прямую $y = 16$. Прямая пересекает параболу в точках, абсциссы которых равны -4 и 4. Эти значения и являются решениями уравнения.

Ответ: -4; 4.

374. Вычислить арифметический квадратный корень из числа:

64; 100; 0,16; 0,09; 0,25; 1,44; 4900; 6400.

64

Арифметический квадратный корень из числа 64 — это неотрицательное число, квадрат которого равен 64. Таким числом является 8.

Проверим: $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$.

Следовательно, $\sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8

100

Арифметический квадратный корень из числа 100 — это неотрицательное число, квадрат которого равен 100. Таким числом является 10.

Проверим: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.

Следовательно, $\sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10

0,16

Чтобы вычислить корень из десятичной дроби, представим её в виде обыкновенной дроби: $0,16 = \frac{16}{100}$.

Далее воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{0,16} = \sqrt{\frac{16}{100}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0,4$.

Проверим: $0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$.

Ответ: 0,4

0,09

Представим десятичную дробь 0,09 в виде обыкновенной дроби: $0,09 = \frac{9}{100}$.

Вычислим корень:

$\sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Проверим: $0,3^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.

Ответ: 0,3

0,25

Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100}$.

Вычислим корень:

$\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0,5$.

Проверим: $0,5^2 = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.

Ответ: 0,5

1,44

Представим десятичную дробь 1,44 в виде обыкновенной дроби: $1,44 = \frac{144}{100}$.

Вычислим корень, зная, что $\sqrt{144} = 12$ и $\sqrt{100} = 10$:

$\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}} = \frac{12}{10} = 1,2$.

Проверим: $1,2^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44$.

Ответ: 1,2

4900

Для вычисления корня из 4900 воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Представим 4900 как произведение $49 \cdot 100$.

$\sqrt{4900} = \sqrt{49 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 7 \cdot 10 = 70$.

Проверим: $70^2 = 70 \cdot 70 = 4900$.

Ответ: 70

6400

Представим число 6400 в виде произведения $64 \cdot 100$ и воспользуемся свойством корня из произведения.

$\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{100} = 8 \cdot 10 = 80$.

Проверим: $80^2 = 80 \cdot 80 = 6400$.

Ответ: 80

375. Верно ли равенство:

1) $\sqrt{16} = 4;$

2) $\sqrt{100} = 10;$

3) $\sqrt{25} = -5;$

4) $\sqrt{0} = 0?$

1) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{16} = 4$, воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ – это неотрицательное число $b$, такое, что $b^2 = a$. В нашем случае $a = 16$ и $b = 4$. Проверяем два условия: во-первых, результат $4$ является неотрицательным числом ($4 \ge 0$), и, во-вторых, квадрат этого числа равен подкоренному выражению ($4^2 = 16$). Так как оба условия выполняются, равенство верно.
Ответ: да.

2) Проверим равенство $\sqrt{100} = 10$. По определению арифметического квадратного корня, результат извлечения корня должен быть неотрицательным числом, и его квадрат должен быть равен подкоренному выражению. В этом примере результат $10$ является неотрицательным ($10 \ge 0$), а его квадрат равен $100$ ($10^2 = 100$). Оба условия соблюдены, поэтому равенство верно.
Ответ: да.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt{25} = -5$. По определению, арифметический квадратный корень из числа должен быть неотрицательным числом. В данном равенстве результат, $-5$, является отрицательным числом ($-5 < 0$). Это противоречит определению арифметического квадратного корня. Следовательно, равенство неверно, несмотря на то, что $(-5)^2 = 25$. Правильное равенство: $\sqrt{25}=5$.
Ответ: нет.

4) Проверим равенство $\sqrt{0} = 0$. Используем определение арифметического квадратного корня. Результат $0$ является неотрицательным числом ($0 \ge 0$). Его квадрат равен подкоренному выражению ($0^2 = 0$). Оба условия определения выполнены. Таким образом, данное равенство является верным.
Ответ: да.

Вычислить (376—378).

376. 1) $(\sqrt{4})^2$;

2) $(\sqrt{9})^2$;

3) $\left(\sqrt{\frac{3}{12}}\right)^2$;

4) $(\sqrt{0,25})^2$.

1) Для вычисления выражения $(\sqrt{4})^2$ используется основное свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$.
В данном случае $a = 4$, что является неотрицательным числом. Следовательно:
$(\sqrt{4})^2 = 4$
Можно также решить задачу по действиям: сначала извлечь корень, а затем возвести результат в квадрат.
1. $\sqrt{4} = 2$
2. $2^2 = 4$
Результаты совпадают.
Ответ: 4

2) Для вычисления выражения $(\sqrt{9})^2$ применим то же самое свойство: $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$.
Здесь $a = 9$, поэтому:
$(\sqrt{9})^2 = 9$
Проверим, вычислив по шагам:
1. $\sqrt{9} = 3$
2. $3^2 = 9$
Ответ: 9

3) В выражении $(\sqrt{\frac{3}{12}})^2$ подкоренное выражение $\frac{3}{12}$ является неотрицательным числом.
Применяя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем:
$(\sqrt{\frac{3}{12}})^2 = \frac{3}{12}$
Необходимо сократить полученную дробь:
$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$
Альтернативный способ решения — сначала упростить подкоренное выражение:
1. $\sqrt{\frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
2. $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

4) Для вычисления выражения $(\sqrt{0,25})^2$ убедимся, что подкоренное выражение $0,25$ неотрицательно, и применим свойство $(\sqrt{a})^2 = a$.
$(\sqrt{0,25})^2 = 0,25$
Для проверки можно сначала найти значение корня. Представим $0,25$ как $\frac{25}{100}$ или $\frac{1}{4}$.
1. $\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5$
2. $(0,5)^2 = 0,25$
Ответ: 0,25

377. 1) $7 - \sqrt{25}$;

2) $\sqrt{16 - 9}$;

3) $4 \cdot \sqrt{0.01}$;

4) $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{0.81}$;

5) $0.25 \cdot \sqrt{0.25}$.

1) Чтобы найти значение выражения $7 - \sqrt{25}$, сначала необходимо вычислить значение квадратного корня. Арифметический квадратный корень из 25 равен 5, поскольку $5^2 = 25$. Затем выполним вычитание: $7 - \sqrt{25} = 7 - 5 = 2$.
Ответ: 2

2) В выражении $\sqrt{16 - 9}$ сначала необходимо выполнить действие вычитания под знаком корня. $16 - 9 = 7$. Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt{7}$. Число 7 не является полным квадратом целого числа, поэтому корень из 7 является иррациональным числом, и в таком виде его и оставляют.
Ответ: $\sqrt{7}$

3) Для вычисления выражения $4 \cdot \sqrt{0,01}$ сначала найдем значение квадратного корня. Квадратный корень из 0,01 равен 0,1, так как $0,1^2 = 0,01$. Теперь умножим полученное значение на 4: $4 \cdot 0,1 = 0,4$.
Ответ: 0,4

4) В выражении $\frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,81}$ сначала вычислим значение корня. Квадратный корень из 0,81 равен 0,9, так как $0,9^2 = 0,81$. Далее выполним умножение: $\frac{1}{3} \cdot 0,9 = \frac{0,9}{3} = 0,3$.
Ответ: 0,3

5) В выражении $0,25 \cdot \sqrt{0,25}$ сначала извлечем квадратный корень. Квадратный корень из 0,25 равен 0,5, так как $0,5^2 = 0,25$. Далее выполним умножение: $0,25 \cdot 0,5 = 0,125$.
Ответ: 0,125

378. 1) $2^3 + 5\sqrt{16};$

2) $3\sqrt{121} - 2\sqrt{144};$

3) $2\sqrt{3 \cdot 27} - 6\sqrt{2 \cdot 18};$

4) $\sqrt{2^2 + 3 \cdot 7};$

5) $\sqrt{3^2 + 4^2};$

6) $\sqrt{17^2 - 15^2}.$

1)

Вычислим значение выражения $2^3 + 5\sqrt{16}$.

Сначала выполним возведение в степень и извлечение квадратного корня:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$\sqrt{16} = 4$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$2^3 + 5\sqrt{16} = 8 + 5 \cdot 4$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение:

$8 + 5 \cdot 4 = 8 + 20 = 28$

Ответ: 28

2)

Вычислим значение выражения $3\sqrt{121} - 2\sqrt{144}$.

Сначала извлечем квадратные корни:

$\sqrt{121} = 11$

$\sqrt{144} = 12$

Подставим найденные значения в выражение:

$3\sqrt{121} - 2\sqrt{144} = 3 \cdot 11 - 2 \cdot 12$

Выполним операции умножения:

$3 \cdot 11 = 33$

$2 \cdot 12 = 24$

Теперь выполним вычитание:

$33 - 24 = 9$

Ответ: 9

3)

Вычислим значение выражения $2\sqrt{3 \cdot 27} - 6\sqrt{2 \cdot 18}$.

Сначала упростим выражения под знаками корня, выполнив умножение:

$3 \cdot 27 = 81$

$2 \cdot 18 = 36$

Выражение примет вид:

$2\sqrt{81} - 6\sqrt{36}$

Теперь извлечем квадратные корни:

$\sqrt{81} = 9$

$\sqrt{36} = 6$

Подставим значения и вычислим результат:

$2 \cdot 9 - 6 \cdot 6 = 18 - 36 = -18$

Ответ: -18

4)

Вычислим значение выражения $\sqrt{2^2 + 3 \cdot 7}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения, соблюдая порядок действий (возведение в степень, умножение, затем сложение):

$2^2 = 4$

$3 \cdot 7 = 21$

$4 + 21 = 25$

Теперь извлечем корень из полученного числа:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

5)

Вычислим значение выражения $\sqrt{3^2 + 4^2}$.

Сначала вычислим значение подкоренного выражения:

$3^2 = 9$

$4^2 = 16$

$9 + 16 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

6)

Вычислим значение выражения $\sqrt{17^2 - 15^2}$.

Для вычисления подкоренного выражения можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$17^2 - 15^2 = (17 - 15)(17 + 15)$

Вычислим значения в скобках:

$17 - 15 = 2$

$17 + 15 = 32$

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot 32 = 64$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{64} = 8$

Также можно было выполнить вычисления напрямую:

$\sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$

Ответ: 8