Номер 2, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 21. Арифметический квадратный корень. Глава 4. Квадратные корни - номер 2, страница 150.

Условие.

2. Сравнить:

1) $27^2$ и $27,1^2$;

2) $\left(\frac{3}{8}\right)^2$ и $\left(\frac{5}{8}\right)^2$;

3) $\left(-\frac{1}{4}\right)^2$ и $\left(-\frac{3}{4}\right)^2$.

Решение 4.

1) Для сравнения чисел $27^2$ и $27,1^2$ рассмотрим свойство функции $y = x^2$. Эта функция является возрастающей для всех положительных значений аргумента $x$. Это означает, что для любых положительных чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то $a^2 > b^2$.
Сравним основания степеней: $27,1$ и $27$.
Очевидно, что $27,1 > 27$.
Поскольку оба числа положительные, их квадраты будут находиться в том же соотношении: $27,1^2 > 27^2$.
Таким образом, $27^2 < 27,1^2$.
Ответ: $27^2 < 27,1^2$.

2) Необходимо сравнить $(\frac{3}{8})^2$ и $(\frac{5}{8})^2$.
Основания степеней — это положительные дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{8}$.
Сравним их. Так как знаменатели дробей одинаковы, сравним их числители. Поскольку $3 < 5$, то $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$.
Как и в предыдущем пункте, используем свойство возрастания функции $y=x^2$ для положительных чисел. Из неравенства $\frac{3}{8} < \frac{5}{8}$ следует, что $(\frac{3}{8})^2 < (\frac{5}{8})^2$.
Для проверки можно вычислить значения: $(\frac{3}{8})^2 = \frac{3^2}{8^2} = \frac{9}{64}$ и $(\frac{5}{8})^2 = \frac{5^2}{8^2} = \frac{25}{64}$.
Сравнивая дроби $\frac{9}{64}$ и $\frac{25}{64}$, получаем $\frac{9}{64} < \frac{25}{64}$, что подтверждает наш вывод.
Ответ: $(\frac{3}{8})^2 < (\frac{5}{8})^2$.

3) Сравним $(-\frac{1}{4})^2$ и $(-\frac{3}{4})^2$.
При возведении любого действительного числа в квадрат результат всегда будет неотрицательным (больше или равен нулю).
Вычислим значение каждого выражения:
$(-\frac{1}{4})^2 = (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$.
$(-\frac{3}{4})^2 = (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16}$.
Теперь сравним полученные положительные дроби: $\frac{1}{16}$ и $\frac{9}{16}$.
Поскольку у них одинаковые знаменатели, сравниваем числители: $1 < 9$, следовательно, $\frac{1}{16} < \frac{9}{16}$.
Таким образом, $(-\frac{1}{4})^2 < (-\frac{3}{4})^2$.
Ответ: $(-\frac{1}{4})^2 < (-\frac{3}{4})^2$.