Страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Какие несократимые обыкновенные дроби нельзя записать в виде конечных десятичных дробей?

Обыкновенную несократимую дробь вида $\frac{m}{n}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее знаменатель $n$ в разложении на простые множители не содержит никаких других чисел, кроме 2 и 5.

Разберемся, почему это так. Любая конечная десятичная дробь по определению может быть записана со знаменателем, равным степени числа 10. Например, $0.7 = \frac{7}{10}$, $0.41 = \frac{41}{100}$, $0.053 = \frac{53}{1000}$. В общем виде это дробь $\frac{A}{10^k}$, где $A$ — целое число, а $k$ — натуральное.

Рассмотрим разложение числа 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет состоять только из этих простых множителей: $10^k = (2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k$.

Для того чтобы несократимую дробь $\frac{m}{n}$ можно было преобразовать в конечную десятичную, необходимо, чтобы ее можно было привести к знаменателю $10^k$ путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число. Это возможно только в том случае, если знаменатель $n$ является делителем числа $10^k$. А это, в свою очередь, означает, что в разложении знаменателя $n$ на простые множители могут присутствовать только множители 2 и 5.

Если же в разложении знаменателя $n$ несократимой дроби $\frac{m}{n}$ появляется любой другой простой множитель (например, 3, 7, 11, 13 и т.д.), то умножением на целое число невозможно избавиться от этого множителя и получить в знаменателе степень десяти. Такие дроби при делении числителя на знаменатель превращаются в бесконечные периодические десятичные дроби.

Примеры дробей, которые нельзя записать в виде конечных десятичных:

1. Дробь $\frac{1}{3}$. Знаменатель 3 — простое число, отличное от 2 и 5. При делении получаем $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$.

2. Дробь $\frac{4}{7}$. Знаменатель 7 — простое число, отличное от 2 и 5. При делении получаем $\frac{4}{7} = 0.5714285714... = 0.(571428)$.

3. Дробь $\frac{5}{12}$. Представим знаменатель в виде произведения простых множителей: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении присутствует множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. При делении получаем $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.

Ответ: Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых в разложении на простые множители содержат хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5, нельзя записать в виде конечных десятичных дробей.

4. Что называют иррациональным числом?

Иррациональным числом называют вещественное число, которое невозможно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом, а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \neq 0$).

Основное свойство иррациональных чисел связано с их десятичным представлением. Если рациональные числа представляются либо конечными, либо бесконечными периодическими десятичными дробями (например, $\frac{1}{4} = 0.25$ или $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$), то иррациональные числа всегда представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Это означает, что в последовательности цифр после запятой нет такой группы цифр, которая бы бесконечно повторялась.

Примерами иррациональных чисел служат многие известные математические константы и корни из чисел, не являющихся точными квадратами. Например: $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ (квадратный корень из двух); $\pi$ (число Пи) $\approx 3.14159265...$ (отношение длины окружности к её диаметру); $e$ (число Эйлера) $\approx 2.71828182...$ (основание натурального логарифма); $\phi$ (золотое сечение) = $\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398...$

Таким образом, иррациональные числа дополняют рациональные числа до полного множества вещественных (действительных) чисел.

Ответ: Иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде дроби $\frac{m}{n}$ (где $m$ — целое, $n$ — натуральное) и десятичное представление которого является бесконечной непериодической дробью.

5. Какие числа называются действительными?

Действительные числа (также их называют вещественными числами) — это все числа, которые можно использовать для измерения непрерывных величин или которые можно отметить на бесконечной числовой прямой. Множество всех действительных чисел принято обозначать символом $R$.

Множество действительных чисел представляет собой объединение двух больших классов чисел, которые не пересекаются друг с другом: рациональных и иррациональных чисел.

1. Рациональные числа ($Q$)
Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — это целое число ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in N$). Рациональное число, представленное в виде десятичной дроби, является либо конечным, либо бесконечным периодическим.
Примеры: $7$ (можно записать как $\frac{7}{1}$), $-2.5$ (можно записать как $-\frac{5}{2}$), $\frac{1}{3}$ (которая равна бесконечной периодической дроби $0.333...$ или $0.(3)$).
Множество рациональных чисел, в свою очередь, включает в себя:

• Натуральные числа ($N$): $\{1, 2, 3, 4, ...\}$
• Целые числа ($Z$): $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$
• Дробные рациональные числа (например, $\frac{1}{2}$, $-\frac{8}{5}$).

2. Иррациональные числа ($I$)
Это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым $m$ и натуральным $n$. В виде десятичной дроби иррациональные числа представляются как бесконечные непериодические дроби.
Примеры:

• Число Пи: $\pi \approx 3.14159265...$
• Основание натурального логарифма (число Эйлера): $e \approx 2.71828182...$
• Корни из чисел, не являющихся точными квадратами: $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{10}$.

Таким образом, любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным. Геометрически это означает, что каждой точке на числовой прямой соответствует уникальное действительное число, и наоборот, каждое действительное число можно найти на числовой прямой.

Ответ: Действительными числами называется множество, которое является объединением множества всех рациональных чисел и множества всех иррациональных чисел. Проще говоря, это все числа, которые можно отметить на числовой прямой.

1. Вычислить:

1) $2,8 : \frac{14}{15}$;

2) $1,8 \cdot 2\frac{2}{3}$;

3) $(3\frac{1}{3})^2 \cdot 0,6$;

4) $(-0,8)^2 : 0,4.$

1) Чтобы решить пример $2,8 : \frac{14}{15}$, представим десятичную дробь 2,8 в виде обыкновенной дроби.
$2,8 = 2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$.
Теперь выполним деление дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей (перевернутую) дробь.
$\frac{14}{5} : \frac{14}{15} = \frac{14}{5} \cdot \frac{15}{14}$.
Сократим дроби: числитель и знаменатель можно сократить на 14. Также можно сократить 15 и 5 (разделить оба на 5).
$\frac{14 \cdot 15}{5 \cdot 14} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 3$.
Ответ: 3

2) Для решения примера $1,8 \cdot 2\frac{2}{3}$ представим оба множителя в виде неправильных дробей.
$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
Теперь выполним умножение полученных дробей:
$\frac{9}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{9 \cdot 8}{5 \cdot 3}$.
Сократим 9 в числителе и 3 в знаменателе (разделим оба на 3):
$\frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 1} = \frac{24}{5}$.
Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную:
$\frac{24}{5} = 4,8$.
Ответ: 4,8

3) Для решения примера $(3\frac{1}{3})^2 \cdot 0,6$ сначала выполним возведение в степень, а затем умножение. Представим числа в виде обыкновенных дробей.
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Теперь возведем в квадрат первую дробь:
$(3\frac{1}{3})^2 = (\frac{10}{3})^2 = \frac{10^2}{3^2} = \frac{100}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{100}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{100 \cdot 3}{9 \cdot 5}$.
Сократим 100 и 5 (разделим на 5), а также 3 и 9 (разделим на 3):
$\frac{20 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{20}{3}$.
Представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$.
Ответ: $6\frac{2}{3}$

4) Для решения примера $(-0,8)^2 : 0,4$ первым действием выполним возведение в степень.
Квадрат отрицательного числа является положительным числом:
$(-0,8)^2 = (-0,8) \cdot (-0,8) = 0,64$.
Теперь выполним деление:
$0,64 : 0,4$.
Чтобы разделить десятичные дроби, можно перенести запятую в делимом и делителе на одинаковое число знаков вправо, чтобы делитель стал целым числом. Перенесем запятую на один знак вправо:
$6,4 : 4 = 1,6$.
Ответ: 1,6

2. Выполнить деление с точностью до 0,01:

1) $25 : 9$;

2) $335 : 3$;

3) $7,3 : 0,7$;

4) $0,5 : 0,06$.

Чтобы выполнить деление с точностью до 0,01, необходимо вычислить частное с точностью до тысячных (три знака после запятой), а затем округлить полученный результат до сотых (два знака после запятой).

1) $25 : 9$

Выполним деление столбиком до третьего знака после запятой:
$25 : 9 = 2,777...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. В числе $2,777...$ третья цифра после запятой — это $7$.
Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу: $7 + 1 = 8$.
Следовательно, $2,777... \approx 2,78$.

Ответ: $2,78$

2) $335 : 3$

Выполним деление столбиком до третьего знака после запятой:
$335 : 3 = 111,666...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. В числе $111,666...$ третья цифра после запятой — это $6$.
Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу: $6 + 1 = 7$.
Следовательно, $111,666... \approx 111,67$.

Ответ: $111,67$

3) $7,3 : 0,7$

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе. В данном случае на один знак.
$7,3 : 0,7 = 73 : 7$
Выполним деление столбиком до третьего знака после запятой:
$73 : 7 = 10,428...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. В числе $10,428...$ третья цифра после запятой — это $8$.
Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу: $2 + 1 = 3$.
Следовательно, $10,428... \approx 10,43$.

Ответ: $10,43$

4) $0,5 : 0,06$

Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо.
$0,5 : 0,06 = 50 : 6$
Выполним деление столбиком до третьего знака после запятой:
$50 : 6 = 8,333...$
Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой. В числе $8,333...$ третья цифра после запятой — это $3$.
Так как $3 < 5$, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений.
Следовательно, $8,333... \approx 8,33$.

Ответ: $8,33$

3. Вычислить арифметический квадратный корень из числа:

1) 0,49;

2) 2500;

3) 160 000;

4) 0,0001;

5) $\frac{4}{9}$;

6) $\frac{16}{25}$.

1) Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен исходному числу. Для числа 0,49 нам нужно найти такое неотрицательное число $x$, что $x^2 = 0,49$.
Можно заметить, что $7^2=49$. Так как в числе 0,49 два знака после запятой, то в его корне будет один знак после запятой.
Следовательно, $0,7^2 = 0,7 \times 0,7 = 0,49$.
Таким образом, $\sqrt{0,49} = 0,7$.
Альтернативный способ — представить десятичную дробь в виде обыкновенной:
$\sqrt{0,49} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10} = 0,7$.
Ответ: 0,7.

2) Для вычисления корня из числа 2500 можно представить его в виде произведения чисел, корни из которых легко вычисляются.
$2500 = 25 \times 100$.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{2500} = \sqrt{25 \times 100} = \sqrt{25} \times \sqrt{100} = 5 \times 10 = 50$.
Проверка: $50^2 = 2500$.
Ответ: 50.

3) Для вычисления корня из числа 160 000, представим его в виде произведения.
$160 000 = 16 \times 10 000$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{160 000} = \sqrt{16 \times 10 000} = \sqrt{16} \times \sqrt{10 000} = 4 \times 100 = 400$.
Проверка: $400^2 = 160 000$.
Ответ: 400.

4) Для вычисления корня из числа 0,0001 представим его в виде обыкновенной дроби. В числителе будет 1, а в знаменателе 1 с четырьмя нулями (по количеству знаков после запятой).
$0,0001 = \frac{1}{10000}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{0,0001} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Проверка: $0,01^2 = 0,0001$.
Ответ: 0,01.

5) Чтобы вычислить корень из дроби $\frac{4}{9}$, воспользуемся свойством корня из частного (дроби), которое гласит, что корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя.
$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$.
Так как $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{9} = 3$, получаем:
$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

6) Аналогично предыдущему пункту, вычисляем корень из дроби $\frac{16}{25}$ с помощью свойства корня из частного.
$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$.
Так как $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{25} = 5$, получаем:
$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

4. Решить уравнение:

1) $\sqrt{x}=0$;

2) $\sqrt{x}=1$;

3) $\sqrt{x}=100$;

4) $\sqrt{x}=25$.

Для решения уравнений вида $\sqrt{x} = a$, где $a$ — неотрицательное число, необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. Это действие является равносильным преобразованием, так как обе части уравнения неотрицательны ($x$ по определению арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, и правая часть в каждом уравнении также неотрицательна).

1) $\sqrt{x} = 0$

Чтобы найти значение $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 0^2$

$x = 0$

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt{0} = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 0$.

2) $\sqrt{x} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 1^2$

$x = 1$

Проверка:

$\sqrt{1} = 1$

$1 = 1$

Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

3) $\sqrt{x} = 100$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 100^2$

$x = 10000$

Проверка:

$\sqrt{10000} = 100$

$100 = 100$

Равенство верное.

Ответ: $x = 10000$.

4) $\sqrt{x} = 25$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 25^2$

$x = 625$

Проверка:

$\sqrt{625} = 25$

$25 = 25$

Равенство верное.

Ответ: $x = 625$.

5. Решить графически уравнения:

1) $\sqrt{x}=1,5$;

2) $\sqrt{x}=2,5$.

Для графического решения уравнения его левую и правую части представляют в виде двух отдельных функций. Решением уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих функций.

В обоих заданиях мы будем рассматривать пересечение графика функции $y = \sqrt{x}$ с горизонтальными прямыми.

1)

Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 1,5$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 1,5$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (1; 1), (4; 2), (9; 3) и так далее.

График функции $y = 1,5$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через значение 1,5 на оси $Oy$.

Найдем точку пересечения этих двух графиков. Прямая $y = 1,5$ пересекает кривую $y = \sqrt{x}$ в единственной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. По графику можно увидеть, что эта абсцисса находится между значениями $x=2$ и $x=3$.

Для нахождения точного значения можно решить уравнение аналитически, возведя обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (1,5)^2$

$x = 2,25$

Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами $(2,25; 1,5)$.

Ответ: $x = 2,25$.

2)

Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = 2,5$ графически, построим в той же системе координат графики функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = 2,5$.

График функции $y = \sqrt{x}$ нам уже знаком.

График функции $y = 2,5$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через значение 2,5 на оси $Oy$.

Эта прямая пересекает график $y = \sqrt{x}$ в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения. Из графика видно, что значение $x$ находится между 6 и 7.

Для нахождения точного значения решим уравнение аналитически:

$(\sqrt{x})^2 = (2,5)^2$

$x = 6,25$

Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами $(6,25; 2,5)$.

Ответ: $x = 6,25$.

383. Прочитать дробь:

1) $0,(2)$; 2) $2,(21)$; 3) $15,3(53)$; 4) $-2,77(3)$.

Запись $0,(2)$ представляет собой чистую периодическую десятичную дробь. В таких дробях бесконечно повторяющаяся последовательность цифр, называемая периодом, начинается сразу после десятичной запятой. Здесь целая часть равна нулю, а период — это цифра 2, то есть число равно $0,222...$ . Читается такая дробь следующим образом: сначала называют целую часть, а затем указывают цифру в периоде.
Ответ: ноль целых, два в периоде.

Запись $2,(21)$ представляет собой чистую периодическую десятичную дробь с целой частью, равной 2. Период дроби — это группа цифр 21, которая бесконечно повторяется после запятой ($2,212121...$). При чтении сначала называют целую часть, а затем — цифры в периоде.
Ответ: две целых, двадцать один в периоде.

Запись $15,3(53)$ представляет собой смешанную периодическую десятичную дробь. У такой дроби между десятичной запятой и периодом есть одна или несколько цифр, которые не повторяются. Здесь целая часть — 15, непериодическая часть — 3, а период — 53. Полное число выглядит как $15,353535...$ . Читается дробь так: называют целую часть, затем непериодическую часть (с указанием разряда) и после этого — период.
Ответ: пятнадцать целых, три десятых и пятьдесят три в периоде.

Запись $-2,77(3)$ представляет собой отрицательную смешанную периодическую десятичную дробь. Знак "минус" относится ко всему числу. Целая часть равна 2, непериодическая часть — 77, а период — 3. Полное число выглядит как $-2,77333...$ . При чтении сначала произносят "минус", затем называют целую часть, непериодическую часть (с указанием разряда) и в конце — период.
Ответ: минус две целых, семьдесят семь сотых и три в периоде.

384. Записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби:

1) $\frac{1}{4}$;

2) $\frac{1}{125}$;

3) $\frac{2}{3}$;

4) $\frac{3}{11}$;

5) $-\frac{3}{5}$;

6) $-3\frac{1}{7}$.

1) Чтобы записать обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$ в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. Дробь будет конечной, так как знаменатель $4=2^2$ состоит только из множителя 2.
Можно выполнить деление столбиком или домножить числитель и знаменатель на 25, чтобы в знаменателе получить 100:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25$
Ответ: 0,25

2) Дробь $\frac{1}{125}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как ее знаменатель $125=5^3$ состоит только из множителя 5.
Домножим числитель и знаменатель на 8, чтобы в знаменателе получить 1000:
$\frac{1}{125} = \frac{1 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{8}{1000} = 0,008$
Ответ: 0,008

3) Чтобы записать дробь $\frac{2}{3}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Так как в разложении знаменателя (число 3) есть простые множители, отличные от 2 и 5, дробь будет бесконечной периодической.
Выполним деление столбиком:
$2 \div 3 = 0,666...$
Цифра 6 повторяется бесконечно. Это записывается как 0,(6).
Ответ: 0,(6)

4) Чтобы записать дробь $\frac{3}{11}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Знаменатель 11 — простое число, отличное от 2 и 5, поэтому дробь будет бесконечной периодической.
Выполним деление столбиком:
$3 \div 11 = 0,272727...$
Группа цифр 27 повторяется. Это называется периодом дроби и записывается в скобках.
Ответ: 0,(27)

5) Дробь $-\frac{3}{5}$ будет конечной десятичной, так как ее знаменатель равен 5. Знак минус сохраняется.
Домножим числитель и знаменатель на 2:
$-\frac{3}{5} = -\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = -\frac{6}{10} = -0,6$
Ответ: -0,6

6) Сначала преобразуем смешанное число $-3\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:
$-3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7}$
Знаменатель 7 — простое число, отличное от 2 и 5, значит, дробь будет бесконечной периодической. Целая часть равна -3.
Найдем дробную часть, разделив 22 на 7 столбиком:
$22 \div 7 \approx 3,14285714...$
Так как исходное число $-3\frac{1}{7}$, целая часть равна -3, а дробная часть $0,14285714...$. Период дроби — это группа цифр 142857.
$-3\frac{1}{7} = -3,142857142857... = -3,(142857)$
Ответ: -3,(142857)

385. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь:

1) $0,(6)$;

2) $0,(7)$;

3) $4,1(25)$;

4) $2,3(81)$.

1) 0,(6);

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числитель дроби поставить период, а в знаменатель — число, состоящее из девяток, причем количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде.

Для дроби $0,(6)$ период равен 6 (одна цифра).

Следовательно, $0,(6) = \frac{6}{9}$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.

Алгебраический метод:

Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$

Умножим обе части уравнения на 10 (так как в периоде одна цифра):

$10x = 6,666...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 6,666... - 0,666...$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2) 0,(7);

Аналогично предыдущему пункту, для дроби $0,(7)$ период равен 7 (одна цифра).

Следовательно, $0,(7) = \frac{7}{9}$.

Эта дробь является несократимой.

Алгебраический метод:

Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$

Умножим обе части уравнения на 10:

$10x = 7,777...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 7,777... - 0,777...$

$9x = 7$

$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

3) 4,1(25);

Это смешанная периодическая дробь. Для ее преобразования воспользуемся алгебраическим методом.

Пусть $x = 4,1(25) = 4,1252525...$

Умножим уравнение на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:

$10x = 41,252525...$

Теперь умножим исходное уравнение на 1000 (на $10^3$, так как одна цифра до периода и две в периоде), чтобы сдвинуть один период влево:

$1000x = 4125,2525...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 4125,2525... - 41,2525...$

$990x = 4125 - 41$

$990x = 4084$

$x = \frac{4084}{990}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$x = \frac{4084 \div 2}{990 \div 2} = \frac{2042}{495}$

Ответ: $\frac{2042}{495}$

4) 2,3(81);

Это также смешанная периодическая дробь. Применим алгебраический метод.

Пусть $x = 2,3(81) = 2,3818181...$

Умножим уравнение на 10, чтобы после запятой остался только период:

$10x = 23,818181...$

Умножим исходное уравнение на 1000 (на $10^3$, так как одна цифра до периода и две в периоде):

$1000x = 2381,8181...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 2381,8181... - 23,8181...$

$990x = 2381 - 23$

$990x = 2358$

$x = \frac{2358}{990}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 2:

$x = \frac{1179}{495}$

Проверим делимость на 9. Сумма цифр числителя $1+1+7+9=18$ (делится на 9). Сумма цифр знаменателя $4+9+5=18$ (делится на 9). Разделим числитель и знаменатель на 9:

$x = \frac{1179 \div 9}{495 \div 9} = \frac{131}{55}$

Ответ: $\frac{131}{55}$

386. Сравнить числа:

1) $0,35$ и $0,\overline{35}$;

2) $1,03$ и $1,0\overline{3}$;

3) $3,7\overline{2}$ и $3,72$.

1) Для того чтобы сравнить числа $0,35$ и $0,(35)$, необходимо представить их в виде бесконечных десятичных дробей и сравнить поразрядно.

Число $0,35$ является конечной десятичной дробью. Чтобы сравнить его с бесконечной дробью, мы можем дописать справа нули: $0,35 = 0,35000...$

Число $0,(35)$ — это чистая периодическая десятичная дробь, где число $35$ является периодом. Это значит, что группа цифр $35$ бесконечно повторяется после запятой: $0,(35) = 0,353535...$

Теперь сравним полученные записи:

$0,35000...$

$0,35353...$

Сравнение начинаем с самого старшего разряда (слева направо):

• Целые части равны: $0 = 0$.
• Цифры в разряде десятых равны: $3 = 3$.
• Цифры в разряде сотых равны: $5 = 5$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: у первого числа это $0$, а у второго $3$.

Поскольку $0 < 3$, то и первое число меньше второго.

Ответ: $0,35 < 0,(35)$.

2) Сравним числа $1,03$ и $1,0(3)$.

Число $1,03$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать в виде $1,03000...$

Число $1,0(3)$ — это смешанная периодическая десятичная дробь. Цифра $0$ стоит до периода, а цифра $3$ является периодом. Запись этого числа: $1,0(3) = 1,033333...$

Сравним поразрядно:

$1,03000...$

$1,03333...$

Проведем сравнение слева направо:

• Целые части равны: $1 = 1$.
• Цифры в разряде десятых равны: $0 = 0$.
• Цифры в разряде сотых равны: $3 = 3$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: у числа $1,03$ это $0$, а у числа $1,0(3)$ это $3$.

Так как $0 < 3$, то $1,03 < 1,0(3)$.

Ответ: $1,03 < 1,0(3)$.

3) Сравним числа $3,7(2)$ и $3,72$.

Число $3,7(2)$ — это смешанная периодическая дробь. Цифра $7$ стоит до периода, а цифра $2$ — в периоде. Запись этого числа: $3,7(2) = 3,722222...$

Число $3,72$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $3,72000...$

Сравним поразрядно:

$3,72222...$

$3,72000...$

Выполним сравнение слева направо:

• Целые части равны: $3 = 3$.
• Цифры в разряде десятых равны: $7 = 7$.
• Цифры в разряде сотых равны: $2 = 2$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: у числа $3,7(2)$ это $2$, а у числа $3,72$ это $0$.

Поскольку $2 > 0$, то первое число больше второго.

Ответ: $3,7(2) > 3,72$.

387. Даны числа: $-8$; $-\sqrt{16}$; $-0,3$; $-\frac{5}{2}$; $12$; $\sqrt{7}$; $0$; $\sqrt{\frac{1}{9}}$; $1$. Выписать те из них, которые являются:

натуральными;

целыми;

рациональными.

Для того чтобы классифицировать данные числа, сначала упростим их и определим их природу:

Число $-8$ является целым.
Число $-\sqrt{16}$ равно $-4$, так как $\sqrt{16}=4$. Это целое число.
Число $-0,3$ является конечной десятичной дробью, его можно представить как $-\frac{3}{10}$. Это рациональное число.
Число $-\frac{5}{2}$ уже представлено в виде обыкновенной дроби. Это рациональное число.
Число $12$ является натуральным и целым.
Число $\sqrt{7}$ является иррациональным, так как 7 не является полным квадратом.
Число $0$ является целым.
Число $\sqrt{\frac{1}{9}}$ равно $\frac{1}{3}$, так как $\sqrt{1}=1$ и $\sqrt{9}=3$. Это рациональное число.
Число $1$ является натуральным и целым.

натуральными:

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: $1, 2, 3, \ldots$ и так далее. Из заданного набора чисел натуральными являются только положительные целые числа. Таким образом, это числа 12 и 1.

Ответ: $12; 1$.

целыми:

Целые числа включают в себя натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$. Из нашего списка, после преобразования, к целым числам относятся: $-8$, $-\sqrt{16}$ (поскольку это $-4$), $12$, $0$, $1$.

Ответ: $-8; -\sqrt{16}; 12; 0; 1$.

рациональными:

Рациональные числа — это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. К ним относятся все целые числа, конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Из данного списка почти все числа являются рациональными, за исключением $\sqrt{7}$, которое является иррациональным числом. Итак, рациональные числа в списке: $-8$, $-\sqrt{16}$, $-0,3$, $-\frac{5}{2}$, $12$, $0$, $\sqrt{\frac{1}{9}}$, $1$.

Ответ: $-8; -\sqrt{16}; -0,3; -\frac{5}{2}; 12; 0; \sqrt{\frac{1}{9}}; 1$.