Номер 5, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 22. Действительные числа. Глава 4. Квадратные корни - номер 5, страница 157.

Условие.

5. Какие числа называются действительными?

Решение 4.

Действительные числа (также их называют вещественными числами) — это все числа, которые можно использовать для измерения непрерывных величин или которые можно отметить на бесконечной числовой прямой. Множество всех действительных чисел принято обозначать символом $R$.

Множество действительных чисел представляет собой объединение двух больших классов чисел, которые не пересекаются друг с другом: рациональных и иррациональных чисел.

1. Рациональные числа ($Q$)
Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — это целое число ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in N$). Рациональное число, представленное в виде десятичной дроби, является либо конечным, либо бесконечным периодическим.
Примеры: $7$ (можно записать как $\frac{7}{1}$), $-2.5$ (можно записать как $-\frac{5}{2}$), $\frac{1}{3}$ (которая равна бесконечной периодической дроби $0.333...$ или $0.(3)$).
Множество рациональных чисел, в свою очередь, включает в себя:

• Натуральные числа ($N$): $\{1, 2, 3, 4, ...\}$
• Целые числа ($Z$): $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$
• Дробные рациональные числа (например, $\frac{1}{2}$, $-\frac{8}{5}$).

2. Иррациональные числа ($I$)
Это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ с целым $m$ и натуральным $n$. В виде десятичной дроби иррациональные числа представляются как бесконечные непериодические дроби.
Примеры:

• Число Пи: $\pi \approx 3.14159265...$
• Основание натурального логарифма (число Эйлера): $e \approx 2.71828182...$
• Корни из чисел, не являющихся точными квадратами: $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{10}$.

Таким образом, любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным. Геометрически это означает, что каждой точке на числовой прямой соответствует уникальное действительное число, и наоборот, каждое действительное число можно найти на числовой прямой.

Ответ: Действительными числами называется множество, которое является объединением множества всех рациональных чисел и множества всех иррациональных чисел. Проще говоря, это все числа, которые можно отметить на числовой прямой.