Номер 382, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 21. Арифметический квадратный корень. Глава 4. Квадратные корни - номер 382, страница 151.

Условие.

382. Сравнить числа:

1) $\sqrt{\frac{16}{25}}$ и $\sqrt{\frac{9}{16}}$;

2) $\sqrt{0,04}$ и $\sqrt{0,09}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt{\frac{16}{25}}$ и $\sqrt{\frac{9}{16}}$, сначала извлечем квадратные корни из каждого выражения.

Для первого числа используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

Аналогично для второго числа:

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

Теперь нам нужно сравнить полученные дроби: $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 это 20.

Приводим первую дробь к знаменателю 20: $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{16}{20}$

Приводим вторую дробь к знаменателю 20: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$

Сравниваем полученные дроби: так как числитель первой дроби больше числителя второй ($16 > 15$), то и сама дробь больше.

$\frac{16}{20} > \frac{15}{20}$, следовательно, $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$.

Таким образом, $\sqrt{\frac{16}{25}} > \sqrt{\frac{9}{16}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{16}{25}} > \sqrt{\frac{9}{16}}$

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt{0,04}$ и $\sqrt{0,09}$, можно пойти двумя путями.
Способ 1: Вычислить значения корней.

Вычислим значение первого корня:

$\sqrt{0,04} = \sqrt{(0,2)^2} = 0,2$

Вычислим значение второго корня:

$\sqrt{0,09} = \sqrt{(0,3)^2} = 0,3$

Теперь сравним полученные десятичные дроби: $0,2$ и $0,3$.

Так как $2 < 3$, то $0,2 < 0,3$.

Следовательно, $\sqrt{0,04} < \sqrt{0,09}$.
Способ 2: Сравнить подкоренные выражения.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных значений $x$. Это означает, что чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня.

Сравним подкоренные выражения: $0,04$ и $0,09$.

Очевидно, что $0,04 < 0,09$.

Поскольку подкоренное выражение первого числа меньше, то и сам корень будет меньше. Таким образом, $\sqrt{0,04} < \sqrt{0,09}$.

Ответ: $\sqrt{0,04} < \sqrt{0,09}$