Страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

379. Найти значение выражения:

1) $3\sqrt{10-2a}$ при $a=-3$, $a=3$, $a=5$;

2) $5\sqrt{6x-2}$ при $x=1$, $x=\frac{1}{3}$, $x=3$.

1) Чтобы найти значение выражения $3\sqrt{10-2a}$, необходимо подставить в него поочередно указанные значения переменной $a$.

При $a=-3$:

$3\sqrt{10-2 \cdot (-3)} = 3\sqrt{10+6} = 3\sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$.

При $a=3$:

$3\sqrt{10-2 \cdot 3} = 3\sqrt{10-6} = 3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$.

При $a=5$:

$3\sqrt{10-2 \cdot 5} = 3\sqrt{10-10} = 3\sqrt{0} = 3 \cdot 0 = 0$.

Ответ: при $a=-3$ значение равно $12$; при $a=3$ значение равно $6$; при $a=5$ значение равно $0$.

2) Чтобы найти значение выражения $5\sqrt{6x-2}$, необходимо подставить в него поочередно указанные значения переменной $x$.

При $x=1$:

$5\sqrt{6 \cdot 1 - 2} = 5\sqrt{6-2} = 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$.

При $x=\frac{1}{3}$:

$5\sqrt{6 \cdot \frac{1}{3} - 2} = 5\sqrt{\frac{6}{3}-2} = 5\sqrt{2-2} = 5\sqrt{0} = 5 \cdot 0 = 0$.

При $x=3$:

$5\sqrt{6 \cdot 3 - 2} = 5\sqrt{18-2} = 5\sqrt{16} = 5 \cdot 4 = 20$.

Ответ: при $x=1$ значение равно $10$; при $x=\frac{1}{3}$ значение равно $0$; при $x=3$ значение равно $20$.

380. При каких значениях a имеет смысл выражение:

1) $ \sqrt{2a} $;

2) $ \sqrt{-a} $;

3) $ \sqrt{2-a} $;

4) $ \sqrt{3+a} $?

Основное правило, которое мы будем использовать: арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение $x$ неотрицательно, то есть $x \ge 0$.

1) Выражение $\sqrt{2a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $2a$ неотрицательно.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$2a \ge 0$

Чтобы найти $a$, разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства при этом не меняется.

$a \ge 0$

Это означает, что выражение имеет смысл при любых неотрицательных значениях $a$.

Ответ: $a \ge 0$.

2) Выражение $\sqrt{-a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $-a$ неотрицательно.

Составим и решим неравенство:

$-a \ge 0$

Чтобы найти $a$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$a \le 0$

Это означает, что выражение имеет смысл при любых неположительных значениях $a$.

Ответ: $a \le 0$.

3) Выражение $\sqrt{2-a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $2-a$ неотрицательно.

Составим и решим неравенство:

$2-a \ge 0$

Перенесем $a$ в правую часть неравенства (или вычтем 2 из обеих частей):

$-a \ge -2$

Умножим обе части на -1, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:

$a \le 2$

Это означает, что выражение имеет смысл при всех значениях $a$, которые меньше или равны 2.

Ответ: $a \le 2$.

4) Выражение $\sqrt{3+a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение $3+a$ неотрицательно.

Составим и решим неравенство:

$3+a \ge 0$

Вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$a \ge -3$

Это означает, что выражение имеет смысл при всех значениях $a$, которые больше или равны -3.

Ответ: $a \ge -3$.

381. Решить уравнение:

1) $\sqrt{x} = 2;$

2) $\sqrt{x} = 10.$

1) Решим уравнение $\sqrt{x} = 2$.
По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Это значит, что подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Правая часть уравнения (число 2) также является неотрицательной, поэтому уравнение имеет решение.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 2^2$
$x = 4$
Полученное значение $x = 4$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Выполним проверку, подставив найденный корень в исходное уравнение:
$\sqrt{4} = 2$
$2 = 2$
Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.
Ответ: $4$.

2) Решим уравнение $\sqrt{x} = 10$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Правая часть (число 10) неотрицательна, значит, решение существует.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 10^2$
$x = 100$
Значение $x = 100$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Выполним проверку:
$\sqrt{100} = 10$
$10 = 10$
Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно.
Ответ: $100$.

382. Сравнить числа:

1) $\sqrt{\frac{16}{25}}$ и $\sqrt{\frac{9}{16}}$;

2) $\sqrt{0,04}$ и $\sqrt{0,09}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt{\frac{16}{25}}$ и $\sqrt{\frac{9}{16}}$, сначала извлечем квадратные корни из каждого выражения.

Для первого числа используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

Аналогично для второго числа:

$\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

Теперь нам нужно сравнить полученные дроби: $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 4 это 20.

Приводим первую дробь к знаменателю 20: $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{16}{20}$

Приводим вторую дробь к знаменателю 20: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$

Сравниваем полученные дроби: так как числитель первой дроби больше числителя второй ($16 > 15$), то и сама дробь больше.

$\frac{16}{20} > \frac{15}{20}$, следовательно, $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$.

Таким образом, $\sqrt{\frac{16}{25}} > \sqrt{\frac{9}{16}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{16}{25}} > \sqrt{\frac{9}{16}}$

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt{0,04}$ и $\sqrt{0,09}$, можно пойти двумя путями.
Способ 1: Вычислить значения корней.

Вычислим значение первого корня:

$\sqrt{0,04} = \sqrt{(0,2)^2} = 0,2$

Вычислим значение второго корня:

$\sqrt{0,09} = \sqrt{(0,3)^2} = 0,3$

Теперь сравним полученные десятичные дроби: $0,2$ и $0,3$.

Так как $2 < 3$, то $0,2 < 0,3$.

Следовательно, $\sqrt{0,04} < \sqrt{0,09}$.
Способ 2: Сравнить подкоренные выражения.

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех неотрицательных значений $x$. Это означает, что чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня.

Сравним подкоренные выражения: $0,04$ и $0,09$.

Очевидно, что $0,04 < 0,09$.

Поскольку подкоренное выражение первого числа меньше, то и сам корень будет меньше. Таким образом, $\sqrt{0,04} < \sqrt{0,09}$.

Ответ: $\sqrt{0,04} < \sqrt{0,09}$