Номер 3, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 22. Действительные числа. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 157.

Условие.

3. Какие несократимые обыкновенные дроби нельзя записать в виде конечных десятичных дробей?

Решение 4.

Обыкновенную несократимую дробь вида $\frac{m}{n}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее знаменатель $n$ в разложении на простые множители не содержит никаких других чисел, кроме 2 и 5.

Разберемся, почему это так. Любая конечная десятичная дробь по определению может быть записана со знаменателем, равным степени числа 10. Например, $0.7 = \frac{7}{10}$, $0.41 = \frac{41}{100}$, $0.053 = \frac{53}{1000}$. В общем виде это дробь $\frac{A}{10^k}$, где $A$ — целое число, а $k$ — натуральное.

Рассмотрим разложение числа 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет состоять только из этих простых множителей: $10^k = (2 \cdot 5)^k = 2^k \cdot 5^k$.

Для того чтобы несократимую дробь $\frac{m}{n}$ можно было преобразовать в конечную десятичную, необходимо, чтобы ее можно было привести к знаменателю $10^k$ путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число. Это возможно только в том случае, если знаменатель $n$ является делителем числа $10^k$. А это, в свою очередь, означает, что в разложении знаменателя $n$ на простые множители могут присутствовать только множители 2 и 5.

Если же в разложении знаменателя $n$ несократимой дроби $\frac{m}{n}$ появляется любой другой простой множитель (например, 3, 7, 11, 13 и т.д.), то умножением на целое число невозможно избавиться от этого множителя и получить в знаменателе степень десяти. Такие дроби при делении числителя на знаменатель превращаются в бесконечные периодические десятичные дроби.

Примеры дробей, которые нельзя записать в виде конечных десятичных:

1. Дробь $\frac{1}{3}$. Знаменатель 3 — простое число, отличное от 2 и 5. При делении получаем $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$.

2. Дробь $\frac{4}{7}$. Знаменатель 7 — простое число, отличное от 2 и 5. При делении получаем $\frac{4}{7} = 0.5714285714... = 0.(571428)$.

3. Дробь $\frac{5}{12}$. Представим знаменатель в виде произведения простых множителей: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Так как в разложении присутствует множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. При делении получаем $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$.

Ответ: Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых в разложении на простые множители содержат хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5, нельзя записать в виде конечных десятичных дробей.