Номер 3, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 22. Действительные числа. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 157.

Условие.

3. Вычислить арифметический квадратный корень из числа:

1) 0,49;

2) 2500;

3) 160 000;

4) 0,0001;

5) $\frac{4}{9}$;

6) $\frac{16}{25}$.

Решение 4.

1) Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен исходному числу. Для числа 0,49 нам нужно найти такое неотрицательное число $x$, что $x^2 = 0,49$.
Можно заметить, что $7^2=49$. Так как в числе 0,49 два знака после запятой, то в его корне будет один знак после запятой.
Следовательно, $0,7^2 = 0,7 \times 0,7 = 0,49$.
Таким образом, $\sqrt{0,49} = 0,7$.
Альтернативный способ — представить десятичную дробь в виде обыкновенной:
$\sqrt{0,49} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10} = 0,7$.
Ответ: 0,7.

2) Для вычисления корня из числа 2500 можно представить его в виде произведения чисел, корни из которых легко вычисляются.
$2500 = 25 \times 100$.
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{2500} = \sqrt{25 \times 100} = \sqrt{25} \times \sqrt{100} = 5 \times 10 = 50$.
Проверка: $50^2 = 2500$.
Ответ: 50.

3) Для вычисления корня из числа 160 000, представим его в виде произведения.
$160 000 = 16 \times 10 000$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{160 000} = \sqrt{16 \times 10 000} = \sqrt{16} \times \sqrt{10 000} = 4 \times 100 = 400$.
Проверка: $400^2 = 160 000$.
Ответ: 400.

4) Для вычисления корня из числа 0,0001 представим его в виде обыкновенной дроби. В числителе будет 1, а в знаменателе 1 с четырьмя нулями (по количеству знаков после запятой).
$0,0001 = \frac{1}{10000}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{0,0001} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Проверка: $0,01^2 = 0,0001$.
Ответ: 0,01.

5) Чтобы вычислить корень из дроби $\frac{4}{9}$, воспользуемся свойством корня из частного (дроби), которое гласит, что корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя.
$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$.
Так как $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{9} = 3$, получаем:
$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

6) Аналогично предыдущему пункту, вычисляем корень из дроби $\frac{16}{25}$ с помощью свойства корня из частного.
$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$.
Так как $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{25} = 5$, получаем:
$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.