Номер 385, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 22. Действительные числа. Глава 4. Квадратные корни - номер 385, страница 157.

Условие.

385. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь:

1) $0,(6)$;

2) $0,(7)$;

3) $4,1(25)$;

4) $2,3(81)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) 0,(6);

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числитель дроби поставить период, а в знаменатель — число, состоящее из девяток, причем количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде.

Для дроби $0,(6)$ период равен 6 (одна цифра).

Следовательно, $0,(6) = \frac{6}{9}$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.

Алгебраический метод:

Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$

Умножим обе части уравнения на 10 (так как в периоде одна цифра):

$10x = 6,666...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 6,666... - 0,666...$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

2) 0,(7);

Аналогично предыдущему пункту, для дроби $0,(7)$ период равен 7 (одна цифра).

Следовательно, $0,(7) = \frac{7}{9}$.

Эта дробь является несократимой.

Алгебраический метод:

Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$

Умножим обе части уравнения на 10:

$10x = 7,777...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 7,777... - 0,777...$

$9x = 7$

$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

3) 4,1(25);

Это смешанная периодическая дробь. Для ее преобразования воспользуемся алгебраическим методом.

Пусть $x = 4,1(25) = 4,1252525...$

Умножим уравнение на 10, чтобы непериодическая часть оказалась слева от запятой:

$10x = 41,252525...$

Теперь умножим исходное уравнение на 1000 (на $10^3$, так как одна цифра до периода и две в периоде), чтобы сдвинуть один период влево:

$1000x = 4125,2525...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 4125,2525... - 41,2525...$

$990x = 4125 - 41$

$990x = 4084$

$x = \frac{4084}{990}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$x = \frac{4084 \div 2}{990 \div 2} = \frac{2042}{495}$

Ответ: $\frac{2042}{495}$

4) 2,3(81);

Это также смешанная периодическая дробь. Применим алгебраический метод.

Пусть $x = 2,3(81) = 2,3818181...$

Умножим уравнение на 10, чтобы после запятой остался только период:

$10x = 23,818181...$

Умножим исходное уравнение на 1000 (на $10^3$, так как одна цифра до периода и две в периоде):

$1000x = 2381,8181...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$1000x - 10x = 2381,8181... - 23,8181...$

$990x = 2381 - 23$

$990x = 2358$

$x = \frac{2358}{990}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 2:

$x = \frac{1179}{495}$

Проверим делимость на 9. Сумма цифр числителя $1+1+7+9=18$ (делится на 9). Сумма цифр знаменателя $4+9+5=18$ (делится на 9). Разделим числитель и знаменатель на 9:

$x = \frac{1179 \div 9}{495 \div 9} = \frac{131}{55}$

Ответ: $\frac{131}{55}$