Страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Процесс шлифовки стекла заканчивается, когда глубина выемок на его поверхности не превышает $3 \cdot 10^{-3}$ мм. Записать число $3 \cdot 10^{-3}$ в виде десятичной дроби.

1. Число, записанное в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $n$ — целое отрицательное число, можно преобразовать в десятичную дробь. Отрицательная степень $10^{-3}$ указывает, на сколько позиций нужно сместить десятичную запятую влево от начального положения в числе $a$.

В данном случае нам нужно записать число $3 \cdot 10^{-3}$ в виде десятичной дроби.

Рассмотрим число 3. Его можно представить как 3,0.

Степень равна -3, значит, мы должны сместить запятую на 3 знака влево:

1. Смещаем на один знак: 0,3

2. Смещаем на второй знак: 0,03

3. Смещаем на третий знак: 0,003

Другой способ — это представить $10^{-3}$ как дробь:

$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$

Теперь умножим 3 на полученную дробь:

$3 \cdot 10^{-3} = 3 \cdot \frac{1}{1000} = \frac{3}{1000} = 0,003$

Ответ: 0,003

2. Атом сверхтяжёлого водорода существует лишь 0,00000000001 с.

Записать число $0,00000000001$ в виде степени числа $10$.

Для того чтобы записать десятичную дробь в виде степени с основанием 10, необходимо посчитать, на сколько позиций нужно сдвинуть запятую вправо, чтобы получить число 1. Этот сдвиг определит показатель степени, который будет отрицательным.

В числе 0,0000000001 запятая находится перед первой значащей цифрой (1). Чтобы получить 1, запятую нужно сдвинуть на 10 позиций вправо:

0,0000000001

Сдвиг на 10 позиций вправо эквивалентен умножению на $10^{10}$. Следовательно, исходное число можно представить как $1 \div 10^{10}$ или в виде дроби:

$0,0000000001 = \frac{1}{10000000000} = \frac{1}{10^{10}}$

Согласно свойству степени с отрицательным показателем, которое гласит $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем переписать это выражение:

$\frac{1}{10^{10}} = 10^{-10}$

Ответ: $10^{-10}$

3. Размеры вируса гриппа составляют около $10^{-4}$ мм. Записать число $10^{-4}$ в виде десятичной дроби.

Чтобы записать число $10^{-4}$ в виде десятичной дроби, необходимо воспользоваться свойством степени с отрицательным показателем.

Степень числа с отрицательным целым показателем $n$ определяется как единица, деленная на степень того же числа с положительным показателем:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Применим это правило к заданному числу $10^{-4}$:

$10^{-4} = \frac{1}{10^4}$

Теперь вычислим значение знаменателя $10^4$:

$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$

Следовательно, мы получили обыкновенную дробь:

$\frac{1}{10000}$

Для того чтобы представить эту дробь в виде десятичной, нужно разделить числитель на знаменатель. Деление на 10000 эквивалентно переносу десятичной запятой на 4 знака влево:

$1.0 \rightarrow 0.1 \rightarrow 0.01 \rightarrow 0.001 \rightarrow 0.0001$

Таким образом, число $10^{-4}$ в виде десятичной дроби равно $0.0001$.

Ответ: $0.0001$

4. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100 м со скоростью 20 м/с. Центростремительное ускорение $a$ при движении по окружности находится по формуле $a = \frac{v^2}{R}$, где $v$ — скорость движения, $R$ — радиус окружности. Увеличится или уменьшится центростремительное ускорение автомобиля, если его скорость останется прежней, а радиус закругления дороги увеличится?

Для решения задачи необходимо проанализировать формулу для центростремительного ускорения:

$a = \frac{v^2}{R}$

В этой формуле $a$ — это центростремительное ускорение, $v$ — скорость движения, а $R$ — радиус окружности (в данном случае, радиус закругления дороги).

По условию задачи, скорость автомобиля $v$ остается постоянной, а радиус закругления $R$ увеличивается.

Из формулы видно, что ускорение $a$ и радиус $R$ находятся в обратно пропорциональной зависимости, так как радиус стоит в знаменателе дроби. Это означает, что при увеличении одной величины (радиуса) другая величина (ускорение) будет уменьшаться, при условии, что числитель ($v^2$) остается неизменным.

Рассмотрим это на примере. Пусть начальное ускорение равно $a_1 = \frac{v^2}{R_1}$. Новое ускорение после увеличения радиуса будет $a_2 = \frac{v^2}{R_2}$.

Поскольку по условию $v$ не меняется, а $R$ увеличивается, то $R_2 > R_1$. Так как мы делим одно и то же число ($v^2$) на все большее число ($R$), результат деления (ускорение $a$) будет становиться все меньше. Таким образом, $a_2 < a_1$.

Следовательно, при увеличении радиуса закругления дороги и сохранении прежней скорости, центростремительное ускорение автомобиля уменьшится.

Ответ: уменьшится.

5. В сельском хозяйстве приблизительный объём зерна пшеницы, сгружённого в насыпь, имеющую форму конуса, находят по формуле $V = \frac{p^3}{20}$, где $p$ — длина так называемой «перекидки», находящаяся с помощью шнура, перекинутого через кучу зерна (на рисунке 42 $p = AB + BC$). Найти объём ссыпанного в коническую кучу зерна, если $p = 10 м$; $p = 20 м$.

Рис. 42

В задаче требуется найти объём конической кучи зерна, используя данную формулу $V = \frac{p^3}{20}$, где $V$ — это объём, а $p$ — длина «перекидки».

Необходимо выполнить расчёты для двух случаев.

если p = 10 м

Подставим значение $p = 10$ в формулу для объёма:

$V = \frac{10^3}{20}$

Вычислим значение в числителе:

$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$

Теперь подставим это значение обратно в формулу и найдём объём:

$V = \frac{1000}{20} = 50$

Следовательно, объём кучи зерна равен 50 $м^3$.

Ответ: 50 $м^3$.

если p = 20 м

Подставим значение $p = 20$ в формулу для объёма:

$V = \frac{20^3}{20}$

В этом выражении можно сократить числитель и знаменатель на 20:

$V = 20^2$

Теперь вычислим квадрат числа 20:

$V = 20 \cdot 20 = 400$

Следовательно, объём кучи зерна равен 400 $м^3$.

Ответ: 400 $м^3$.

6. При массовом учёте делового леса используют следующую формулу для нахождения объёма одного бревна:

$V = \pi l \left(\frac{R+r}{2}\right)^2$, где $R$ и $r$ — радиусы торцов бревна, $l$ — длина бревна. Найти примерный объём древесины от 200 брёвен, имеющих одинаковые размеры: $l \approx 6 \text{ м}$, $R \approx 0,18 \text{ м}$, $r \approx 0,16 \text{ м}$.

Рис. 42

Для нахождения примерного объёма древесины от 200 брёвен, сначала необходимо вычислить объём одного бревна. Согласно условию, для этого используется формула:$V = \pi l \left(\frac{R+r}{2}\right)^2$.

Используем заданные размеры: длина $l \approx 6$ м, радиус большего торца $R \approx 0,18$ м, и радиус меньшего торца $r \approx 0,16$ м.

Первым шагом вычислим средний радиус бревна, который является средним арифметическим радиусов его торцов:$\frac{R+r}{2} = \frac{0,18 \text{ м} + 0,16 \text{ м}}{2} = \frac{0,34 \text{ м}}{2} = 0,17$ м.

Теперь можем найти объём одного бревна ($V_1$), подставив все известные значения в формулу:$V_1 = \pi \times 6 \times (0,17)^2 = \pi \times 6 \times 0,0289 = 0,1734\pi$ м³.

Вторым шагом найдём общий объём древесины от 200 таких брёвен ($V_{общ}$), умножив объём одного бревна на их количество:$V_{общ} = 200 \times V_1 = 200 \times 0,1734\pi = 34,68\pi$ м³.

Для получения итогового численного значения, используем приближение $\pi \approx 3,14$:$V_{общ} \approx 34,68 \times 3,14 = 108,8952$ м³.

Округляя результат до десятых, получаем примерный объём древесины.

Ответ: 108,9 м³.

7. Электромагнитные излучения, идущие от атмосферных явлений, молекул, атомов, ядер атомов, имеют разные длины. Например, радиоволны имеют длины от $1 \text{ мм}$ до десятков метров; волны видимого спектра — от $3,8 \cdot 10^{-7} \text{ м}$ до $7,8 \cdot 10^{-7} \text{ м}$; рентгеновские волны — от $5 \cdot 10^{-12} \text{ м}$ до $10^{-8} \text{ м}$.

1) Во сколько раз длина волны $5 \cdot 10^{-7} \text{ м}$ (дающая видимость синего цвета) больше длины волны $10^{-10} \text{ м}$ рентгеновского излучения?

2) Во сколько раз длина волны $6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$ (дающая видимость оранжевого цвета) меньше 100-метровой радиоволны?

1) Чтобы определить, во сколько раз длина волны синего света ($ \lambda_с = 5 \cdot 10^{-7} $ м) больше длины волны рентгеновского излучения ($ \lambda_р = 10^{-10} $ м), нужно разделить большую длину волны на меньшую.

Найдем отношение длин волн:

$ \frac{\lambda_с}{\lambda_р} = \frac{5 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{10^{-10} \text{ м}} $

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Также учтем, что $ 10^{-10} = 1 \cdot 10^{-10} $:

$ \frac{5 \cdot 10^{-7}}{1 \cdot 10^{-10}} = 5 \cdot 10^{-7 - (-10)} = 5 \cdot 10^{-7 + 10} = 5 \cdot 10^3 $

Переведем в десятичную форму:

$ 5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 1000 = 5000 $

Следовательно, длина волны синего света в 5000 раз больше длины волны рентгеновского излучения.

Ответ: в 5000 раз.

2) Чтобы определить, во сколько раз длина волны оранжевого света ($ \lambda_о = 6 \cdot 10^{-7} $ м) меньше 100-метровой радиоволны ($ \lambda_{рв} = 100 $ м), нужно разделить большую длину волны (радиоволны) на меньшую (оранжевого света).

Найдем отношение длин волн:

$ \frac{\lambda_{рв}}{\lambda_о} = \frac{100 \text{ м}}{6 \cdot 10^{-7} \text{ м}} $

Представим число 100 в стандартном виде как $ 10^2 $ и выполним деление:

$ \frac{10^2}{6 \cdot 10^{-7}} = \frac{1}{6} \cdot 10^{2 - (-7)} = \frac{1}{6} \cdot 10^{2 + 7} = \frac{1}{6} \cdot 10^9 $

Вычислим приближенное значение. Дробь $ \frac{1}{6} $ равна примерно $0.1667$.

$ \frac{1}{6} \cdot 10^9 \approx 0.1667 \cdot 10^9 = 1.667 \cdot 10^8 $

Таким образом, длина волны оранжевого света меньше 100-метровой радиоволны примерно в $1.67 \cdot 10^8$ раз (или примерно в 167 миллионов раз).

Ответ: примерно в $1.67 \cdot 10^8$ раз.