Номер 4, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 4, страница 139.

Условие.

4. При каких значениях $x$ функция $y=x^2$ принимает положительные значения; значения из промежутка $[1; 4]$?

Решение 1.

Решение 4.

положительные значения

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y=x^2$ принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $y > 0$.

Подставим выражение для функции в неравенство:

$x^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только при $x = 0$. Следовательно, строгое неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$, кроме $x = 0$.

Это можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

значения из промежутка [1; 4]

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y=x^2$ принимает значения из промежутка $[1; 4]$, необходимо решить двойное неравенство $1 \le y \le 4$.

Подставим выражение для функции:

$1 \le x^2 \le 4$

Это неравенство равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 \ge 1$:

$x^2 - 1 \ge 0$

$(x-1)(x+1) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 \le 4$:

$x^2 - 4 \le 0$

$(x-2)(x+2) \le 0$

Решением этого неравенства является промежуток $x \in [-2; 2]$.

Теперь найдем пересечение полученных решений, так как оба неравенства должны выполняться одновременно. Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$ и $[-2; 2]$.

Пересечение этих множеств состоит из двух интервалов: $[-2; -1]$ и $[1; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.