Номер 7, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 7, страница 138.

Условие.

7. Объяснить, почему функция $y = \frac{6}{x}$ убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty).$

Решение 4.

Чтобы объяснить, почему функция $y = \frac{6}{x}$ убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, можно использовать два основных подхода: с помощью производной (в рамках дифференциального исчисления) или по определению убывающей функции (алгебраический подход).

Способ 1: Использование производной

Критерий монотонности функции гласит, что если производная функции $y'(x)$ отрицательна на некотором интервале, то функция $y(x)$ на этом интервале убывает.

1. Найдем производную функции $y = \frac{6}{x}$. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенной: $y = 6x^{-1}$.

2. Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (6x^{-1})' = 6 \cdot (-1)x^{-1-1} = -6x^{-2} = -\frac{6}{x^2}$

3. Теперь проанализируем знак производной $y' = -\frac{6}{x^2}$ на указанных промежутках.

Область определения функции и ее производной — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Для любого ненулевого значения $x$, выражение $x^2$ всегда будет строго положительным ($x^2 > 0$). Числитель дроби равен $-6$, то есть является отрицательным числом. Следовательно, частное отрицательного числа на положительное всегда будет отрицательным. Таким образом, производная $y' = -\frac{6}{x^2}$ отрицательна ($y' < 0$) для всех $x$ из ее области определения.

Поскольку $y' < 0$ как на промежутке $(-\infty; 0)$, так и на промежутке $(0; +\infty)$, функция $y = \frac{6}{x}$ является убывающей на каждом из этих промежутков.

Способ 2: По определению убывающей функции

Функция $f(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1. Промежуток $(0; +\infty)$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из этого промежутка, для которых выполняется условие $0 < x_1 < x_2$. Нам нужно сравнить значения функции $y(x_1) = \frac{6}{x_1}$ и $y(x_2) = \frac{6}{x_2}$.

Рассмотрим их разность:

$y(x_1) - y(x_2) = \frac{6}{x_1} - \frac{6}{x_2} = \frac{6x_2 - 6x_1}{x_1x_2} = \frac{6(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$

Проанализируем знак полученного выражения:

• Так как $x_1 < x_2$, то разность $(x_2 - x_1)$ положительна.
• Так как $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$, то их произведение $x_1x_2$ также положительно.

Поскольку числитель $6(x_2 - x_1)$ и знаменатель $x_1x_2$ положительны, вся дробь положительна. Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.

Это доказывает, что функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

2. Промежуток $(-\infty; 0)$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных числа из этого промежутка, для которых выполняется условие $x_1 < x_2 < 0$. Снова рассмотрим разность $y(x_1) - y(x_2) = \frac{6(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$.

Проанализируем знак выражения:

• Так как $x_1 < x_2$, то разность $(x_2 - x_1)$ положительна.
• Так как $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$, то их произведение $x_1x_2$ положительно (произведение двух отрицательных чисел).

Числитель и знаменатель дроби снова положительны, значит, вся дробь положительна. Следовательно, $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что равносильно $y(x_1) > y(x_2)$.

Это доказывает, что функция убывает и на промежутке $(-\infty; 0)$.

Важное замечание: нельзя утверждать, что функция убывает на объединении этих промежутков $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как при переходе через точку разрыва $x=0$ свойство убывания нарушается. Например, возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Здесь $x_1 < x_2$, но $y(-1) = -6$ и $y(1) = 6$, то есть $y(x_1) < y(x_2)$, что противоречит определению убывающей функции.

Ответ: Функция $y=\frac{6}{x}$ убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как ее производная $y' = -\frac{6}{x^2}$ отрицательна для всех $x$ из этих промежутков. Также это следует из определения убывающей функции: для любых $x_1$ и $x_2$ из одного и того же промежутка, таких что $x_1 < x_2$, справедливо неравенство $\frac{6}{x_1} > \frac{6}{x_2}$.