Номер 3, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 3, страница 138.

Условие.

3. Перечислить свойства функции $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$; при $k < 0$.

Решение 4.

Функция $y=\frac{k}{x}$ называется обратной пропорциональностью. Ее свойства существенно зависят от знака коэффициента $k$.

при $k > 0$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция принимает все действительные значения, кроме $y=0$, так как дробь $\frac{k}{x}$ при $k \neq 0$ никогда не равна нулю.

3. Четность: Функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$).

4. Нули функции: Функция не имеет нулей, так как уравнение $\frac{k}{x} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

5. Промежутки монотонности: Функция убывает на всей области определения. Найдем производную: $y' = -\frac{k}{x^2}$. Поскольку по условию $k > 0$, а $x^2$ всегда положителен в области определения, то $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума и минимума, так как ее производная нигде не обращается в ноль.

7. Промежутки знакопостоянства: Так как $k > 0$, знак $y$ совпадает со знаком $x$.
- $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
- $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

8. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось Oy), так как при $x \to 0$ значения $y \to \infty$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось Ox), так как при $x \to \pm\infty$ значения $y \to 0$.

9. График: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Ответ: При $k > 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ является нечетной, убывающей на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, не имеет нулей и экстремумов. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График (гипербола) расположен в I и III четвертях и имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$.

при $k < 0$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Четность: Функция также является нечетной, так как $y(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции: Функция не имеет нулей. График не пересекает ось Ox.

5. Промежутки монотонности: Функция возрастает на всей области определения. Производная $y' = -\frac{k}{x^2}$. Поскольку по условию $k < 0$, то $-k > 0$. Значит, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума и минимума.

7. Промежутки знакопостоянства: Так как $k < 0$, знак $y$ противоположен знаку $x$.
- $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
- $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

8. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось Oy).
- Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось Ox).

9. График: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Ответ: При $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ является нечетной, возрастающей на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, не имеет нулей и экстремумов. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График (гипербола) расположен во II и IV четвертях и имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$.