Номер 354, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 354, страница 131.

Условие.

354. Решить графически уравнение:

1) $x^3=8$;

2) $x^3=6$;

3) $x^3=\frac{1}{3}x+2$;

4) $x^3=-3x+4.$

Решение 4.

1) $x^3=8$

Для графического решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y=x^3$ и $y=8$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y=x^3$ — это кубическая парабола. Она симметрична относительно начала координат и проходит через точки (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8).

2. График функции $y=8$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 8) на оси ординат.

При построении видно, что графики пересекаются в одной точке. Из ключевых точек для кубической параболы мы знаем, что при $x=2$ значение функции $y=2^3=8$. Это означает, что точка с координатами (2, 8) принадлежит обоим графикам.

Следовательно, абсцисса точки пересечения равна 2.

Ответ: 2.

2) $x^3=6$

Построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ (кубическая парабола) и $y=6$ (горизонтальная прямая).

1. График функции $y=x^3$ — кубическая парабола.

2. График функции $y=6$ — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку (0, 6).

Графики данных функций пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Эта абсцисса — такое число $x$, что его куб равен 6. Аналитически это число записывается как $x = \sqrt[3]{6}$.

Из графика можно определить, что корень уравнения находится между 1 и 2, так как $1^3=1$ (меньше 6) и $2^3=8$ (больше 6).

Ответ: $\sqrt[3]{6}$.

3) $x^3=\frac{1}{3}x+2$

Для решения данного уравнения построим в одной системе координат графики функций $y=x^3$ и $y=\frac{1}{3}x+2$.

1. $y=x^3$ — кубическая парабола.

2. $y=\frac{1}{3}x+2$ — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Например:

• если $x=0$, то $y=\frac{1}{3}(0)+2=2$. Точка (0, 2).
• если $x=3$, то $y=\frac{1}{3}(3)+2=1+2=3$. Точка (3, 3).

Построив оба графика, можно увидеть, что они пересекаются только в одной точке. Абсцисса этой точки является единственным решением уравнения. Из графика видно, что абсцисса точки пересечения находится в интервале $(1; 2)$ и близка к 1.4. Точное аналитическое решение этого кубического уравнения сложно, поэтому графический метод дает нам приблизительный результат.

Ответ: $x \approx 1.4$.

4) $x^3=-3x+4$

Построим в одной координатной плоскости графики функций $y=x^3$ и $y=-3x+4$.

1. $y=x^3$ — кубическая парабола.

2. $y=-3x+4$ — прямая линия. Найдем две точки для её построения:

• если $x=0$, то $y=-3(0)+4=4$. Точка (0, 4).
• если $x=1$, то $y=-3(1)+4=1$. Точка (1, 1).

Заметим, что точка (1, 1) также принадлежит и графику кубической параболы, так как $1^3=1$. Это означает, что точка (1, 1) является точкой пересечения двух графиков.

Так как функция $y=x^3$ является возрастающей, а функция $y=-3x+4$ — убывающей, их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, найденная точка пересечения единственная.

Абсцисса этой точки, $x=1$, и есть решение уравнения.

Ответ: 1.