Номер 349, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 19. Функции у = х² и у = х³. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 349, страница 131.

Условие.

349. Решить графически уравнение:

1) $x^2 = 4$;

2) $x^2 = 7$;

3) $x^2 = 2x + 3$;

4) $x^2 = -x + 4$.

Решение 4.

1) $x^2 = 4$

Чтобы решить уравнение графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 4$. Решениями уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат (0, 0).

График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку (0, 4).

Построив оба графика, мы находим две точки их пересечения: (-2, 4) и (2, 4). Абсциссы этих точек равны -2 и 2.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

2) $x^2 = 7$

Для графического решения уравнения построим графики функций $y = x^2$ и $y = 7$.

График $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат. График $y = 7$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, 7).

Графики пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси ординат. Абсциссы этих точек — это числа, квадрат которых равен 7. Такими числами являются $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{7}, x_2 = \sqrt{7}$.

3) $x^2 = 2x + 3$

Для решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 2x + 3$.

График $y = x^2$ — парабола. График $y = 2x + 3$ — прямая линия. Для построения прямой найдем две точки: при $x=0, y=3$ (точка (0, 3)); при $x=-1, y=1$ (точка (-1, 1)).

Построив графики, находим точки их пересечения. Из чертежа видно, что это точки с координатами (-1, 1) и (3, 9).

Абсциссы этих точек $x = -1$ и $x = 3$ являются решениями данного уравнения.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

4) $x^2 = -x + 4$

Чтобы решить уравнение графически, построим графики функций $y = x^2$ и $y = -x + 4$.

График $y = x^2$ — парабола. График $y = -x + 4$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: при $x=0, y=4$ (точка (0, 4)); при $x=4, y=0$ (точка (4, 0)).

Построив графики, мы видим, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек не являются целыми числами. Графический метод позволяет нам установить, что уравнение имеет два корня: один положительный, другой отрицательный.

Точные значения абсцисс точек пересечения можно найти, решив квадратное уравнение $x^2 + x - 4 = 0$. Корнями являются $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}, x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.