Номер 358, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 20. Функция у = k/x. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 358, страница 140.

Условие.

358. Найти область определения функции:

1) $y = \frac{200}{x}$;

2) $y = \frac{14}{x + 5}$;

3) $y = \frac{5x}{2x + 9}$;

4) $y = \frac{36 - x}{11 - 4x}$;

5) $y = \frac{1}{x^2 + 3}$;

6) $y = \frac{3}{x^2 - 4x + 4}$;

7) $y = \frac{x}{x^2 - 25}$;

8) $y = \frac{2x + 1}{x^3 - x^2}$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для дроби знаменатель не может быть равен нулю. В функции $y = \frac{200}{x}$ знаменатель равен $x$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x = 0$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) В функции $y = \frac{14}{x + 5}$ знаменатель равен $x + 5$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 5 = 0$ $x = -5$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -5.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

3) В функции $y = \frac{5x}{2x + 9}$ знаменатель равен $2x + 9$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $2x + 9 = 0$ $2x = -9$ $x = -\frac{9}{2} = -4.5$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4.5.
Ответ: $x \in (-\infty; -4.5) \cup (-4.5; +\infty)$.

4) В функции $y = \frac{36 - x}{11 - 4x}$ знаменатель равен $11 - 4x$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $11 - 4x = 0$ $4x = 11$ $x = \frac{11}{4} = 2.75$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.75.
Ответ: $x \in (-\infty; 2.75) \cup (2.75; +\infty)$.

5) В функции $y = \frac{1}{x^2 + 3}$ знаменатель равен $x^2 + 3$. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $x^2 + 3 = 0$ $x^2 = -3$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Знаменатель $x^2 + 3$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 3 \ge 3$). Следовательно, ограничений на $x$ нет.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) В функции $y = \frac{3}{x^2 - 4x + 4}$ знаменатель равен $x^2 - 4x + 4$. Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $(x - 2)^2 = 0$ $x - 2 = 0$ $x = 2$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

7) В функции $y = \frac{x}{x^2 - 25}$ знаменатель равен $x^2 - 25$. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 25 = 0$ $(x - 5)(x + 5) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x - 5 = 0$ или $x + 5 = 0$. $x = 5$ или $x = -5$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

8) В функции $y = \frac{2x+1}{x^3 - x^2}$ знаменатель равен $x^3 - x^2$. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Вынесем общий множитель за скобки: $x^3 - x^2 = 0$ $x^2(x - 1) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x^2 = 0$ или $x - 1 = 0$. $x = 0$ или $x = 1$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.