Номер 372, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 3. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 372, страница 142.

Условие.

372. Решить графически уравнение:

1) $x^2 = 7;$

2) $x^2 = 4,5;$

3) $x^3 = -2,5;$

4) $x^3 = 3,5;$

5) $|x| = -3;$

6) $|x| = 4;$

7) $\frac{1}{x} = -3;$

8) $\frac{3}{x} = 2,5.$

Решение 1.

Решение 4.

1) Для графического решения уравнения $x^2 = 7$ построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 7$.
График функции $y = x^2$ – это парабола, вершина которой находится в начале координат, а ветви направлены вверх.
График функции $y = 7$ – это прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0; 7)$.
Эти два графика пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. Из графика видно, что одна точка имеет положительную абсциссу, а другая — отрицательную. Эти значения равны по модулю.
Точные значения абсцисс точек пересечения: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{7}, x_2 = \sqrt{7}$.

2) Для графического решения уравнения $x^2 = 4,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 4,5$.
График функции $y = x^2$ – это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх.
График функции $y = 4,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 4,5)$.
Парабола и прямая пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси ординат (оси $Oy$). Абсциссы этих точек являются корнями исходного уравнения.
Точные значения абсцисс: $x_1 = -\sqrt{4,5}$ и $x_2 = \sqrt{4,5}$.
Ответ: $x_1 = -\sqrt{4,5}, x_2 = \sqrt{4,5}$.

3) Для графического решения уравнения $x^3 = -2,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = -2,5$.
График функции $y = x^3$ – это кубическая парабола, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.
График функции $y = -2,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -2,5)$.
Графики пересекаются в одной точке, которая находится в III координатной четверти (так как значение $y$ отрицательно). Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.
Точное значение абсциссы: $x = \sqrt[3]{-2,5}$.
Ответ: $x = \sqrt[3]{-2,5}$.

4) Для графического решения уравнения $x^3 = 3,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 3,5$.
График функции $y = x^3$ – это кубическая парабола.
График функции $y = 3,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 3,5)$.
Графики пересекаются в одной точке, которая находится в I координатной четверти (так как значение $y$ положительно). Абсцисса этой точки является решением уравнения.
Точное значение абсциссы: $x = \sqrt[3]{3,5}$.
Ответ: $x = \sqrt[3]{3,5}$.

5) Для графического решения уравнения $|x| = -3$ построим в одной системе координат графики функций $y = |x|$ и $y = -3$.
График функции $y = |x|$ представляет собой два луча, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Весь график расположен в верхней полуплоскости (значения $y$ всегда неотрицательны, $y \ge 0$).
График функции $y = -3$ – это прямая, параллельная оси $Ox$, расположенная в нижней полуплоскости.
Поскольку график $y = |x|$ никогда не принимает отрицательных значений, а график $y = -3$ всегда отрицателен, у них нет точек пересечения.
Ответ: нет решений.

6) Для графического решения уравнения $|x| = 4$ построим в одной системе координат графики функций $y = |x|$ и $y = 4$.
График функции $y = |x|$ – это "галочка" с вершиной в начале координат.
График функции $y = 4$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 4)$.
Прямая $y=4$ пересекает график $y=|x|$ в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$.
Первая точка пересечения (с лучом $y=x$) имеет абсциссу $x=4$.
Вторая точка пересечения (с лучом $y=-x$) имеет абсциссу $-x=4$, то есть $x=-4$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 4$.

7) Для графического решения уравнения $\frac{1}{x} = -3$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -3$.
График функции $y = \frac{1}{x}$ – это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.
График функции $y = -3$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -3)$.
Прямая $y=-3$ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в III четверти, в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения.
Из уравнения $\frac{1}{x} = -3$ находим $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

8) Для графического решения уравнения $\frac{3}{x} = 2,5$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = 2,5$.
График функции $y = \frac{3}{x}$ – это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Она похожа на график $y = \frac{1}{x}$, но "растянута" от осей в 3 раза.
График функции $y = 2,5$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 2,5)$.
Прямая $y=2,5$ пересекает ветвь гиперболы, расположенную в I четверти, в одной точке. Абсцисса этой точки является решением уравнения.
Из уравнения $\frac{3}{x} = 2,5$ находим $x = \frac{3}{2,5} = \frac{3}{5/2} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Ответ: $x = 1,2$.