Номер 402, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 402, страница 163.

Условие.

402. Упростить:

1) $\sqrt{(4-\sqrt{5})^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$;

4) $\sqrt{(\sqrt{15}-4)^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения данного выражения используется свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль числа $a$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{(4 - \sqrt{5})^2} = |4 - \sqrt{5}|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $4 - \sqrt{5}$. Для этого сравним числа $4$ и $\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $16 > 5$, то $4 > \sqrt{5}$. Это означает, что разность $4 - \sqrt{5}$ является положительным числом.
Модуль положительного числа равен самому числу, поэтому:
$|4 - \sqrt{5}| = 4 - \sqrt{5}$.
Ответ: $4 - \sqrt{5}$.

2) Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ для упрощения выражения:
$\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$.
Далее определим знак выражения под модулем. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Возведем в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$.
Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Следовательно, разность $\sqrt{5} - 2$ положительна.
По определению модуля для положительных чисел:
$|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 2$.

3) Упростим выражение, применив свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2|$.
Определим знак подмодульного выражения. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$.
Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Это означает, что разность $\sqrt{3} - 2$ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|x| = -x$, если $x < 0$. Таким образом:
$|\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2}$ воспользуемся формулой $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} = |\sqrt{15} - 4|$.
Определим знак выражения под знаком модуля. Сравним $\sqrt{15}$ и $4$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{15})^2 = 15$ и $4^2 = 16$.
Так как $15 < 16$, то $\sqrt{15} < 4$. Следовательно, разность $\sqrt{15} - 4$ отрицательна.
Раскрываем модуль отрицательного выражения, меняя знак на противоположный:
$|\sqrt{15} - 4| = -(\sqrt{15} - 4) = -\sqrt{15} + 4 = 4 - \sqrt{15}$.
Ответ: $4 - \sqrt{15}$.