Номер 2, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 2, страница 167.

Условие.

2. Сформулировать теорему о корне из произведения нескольких неотрицательных чисел.

Решение 4.

Теорема о корне из произведения нескольких неотрицательных чисел формулируется следующим образом: корень n-ой степени из произведения нескольких неотрицательных сомножителей равен произведению корней n-ой степени из этих сомножителей.

В виде формулы это свойство записывается так. Если даны $m$ неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_m$ (то есть $a_i \ge 0$ для всех $i$ от 1 до $m$) и натуральное число $n \ge 2$ (показатель корня), то справедливо равенство:

$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_m} = \sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{a_2} \cdot \dots \cdot \sqrt[n]{a_m}$

Например, для частного, но наиболее распространенного случая — квадратного корня ($n=2$) из произведения двух чисел — теорема гласит, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ ($a \ge 0, b \ge 0$) верно:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Ключевым условием применения этой теоремы является неотрицательность всех сомножителей под знаком корня. Если под корнем четной степени (квадратным, четвертой степени и т.д.) окажется отрицательное число, то в области действительных чисел такой корень не определен, и теорема в ее стандартной форме неприменима.

Доказательство для случая квадратного корня из двух сомножителей основывается на определении арифметического квадратного корня. По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $x$ называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$.

Чтобы доказать, что $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a \ge 0$ и $b \ge 0$, проверим, что выражение в правой части ($\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$) удовлетворяет двум условиям:

1. Оно неотрицательно. Так как $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то и их арифметические корни $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$.
2. Его квадрат равен подкоренному выражению $ab$. Возведем правую часть в квадрат: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b$.

Оба условия выполнены, следовательно, равенство доказано.

Эта теорема часто используется для упрощения вычислений. Например, чтобы найти $\sqrt{1296}$, можно разложить 1296 на множители: $1296 = 4 \cdot 324$. Используя теорему, получаем:
$\sqrt{1296} = \sqrt{4 \cdot 324} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{324} = 2 \cdot 18 = 36$.

Ответ: Корень n-ой степени из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней n-ой степени из этих чисел. Формула: если $a_1, a_2, \dots, a_m$ — неотрицательные числа ($a_i \ge 0$) и $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), то $\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_m} = \sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{a_2} \cdot \dots \cdot \sqrt[n]{a_m}$.