Номер 4, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 4, страница 167.

Условие.

4. Привести числовой пример:

1) вынесения множителя из-под знака корня;

2) внесения множителя под знак корня.

Решение 4.

1) вынесения множителя из-под знака корня

Вынесение множителя из-под знака корня — это упрощение выражения, при котором подкоренное число раскладывается на множители так, чтобы из одного или нескольких из них можно было точно извлечь корень. Это преобразование основано на свойстве корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$).

Приведем числовой пример для выражения $\sqrt{72}$.

1. Разложим подкоренное число 72 на множители, один из которых является полным квадратом. Например, 72 можно представить как $36 \cdot 2$. Множитель 36 является квадратом числа 6 ($6^2 = 36$).

2. Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$

3. Извлечем корень из 36:

$\sqrt{36} = 6$

4. В результате получаем:

$6 \cdot \sqrt{2}$ или просто $6\sqrt{2}$

Таким образом, множитель 6 был вынесен из-под знака корня.

Ответ: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

2) внесения множителя под знак корня

Внесение множителя под знак корня — это операция, обратная вынесению. Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, его необходимо возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Это следует из правила: $c \cdot \sqrt{b} = \sqrt{c^2 \cdot b}$ (при $c \ge 0$).

Приведем числовой пример для выражения $5\sqrt{3}$.

1. Множитель, стоящий перед корнем, — это 5.

2. Чтобы внести его под знак корня, возведем его в квадрат:

$5^2 = 25$

3. Теперь умножим полученное число на подкоренное выражение (в данном случае на 3) под общим знаком корня:

$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3}$

4. Выполним умножение под корнем:

$\sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$

Таким образом, множитель 5 был внесен под знак корня.

Ответ: $5\sqrt{3} = \sqrt{75}$.