Номер 5, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 5, страница 167.

Условие.

5. Какое преобразование можно выполнить, чтобы сравнить значения выражений:

1) $5\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7}$;

2) $2\sqrt{18}$ и $3\sqrt{8}$?

Решение 4.

Для сравнения значений выражений, содержащих множитель перед корнем, можно выполнить преобразование внесения множителя под знак корня. Это преобразование основано на свойстве $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ (для $a \ge 0$). После того как оба выражения будут приведены к виду $\sqrt{x}$, их можно сравнить, сравнивая подкоренные выражения. Большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

1) $5\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7}$

Выполним преобразование для каждого выражения:

Для первого выражения $5\sqrt{5}$: внесем множитель 5 под знак корня.
$5\sqrt{5} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{125}$.

Для второго выражения $3\sqrt{7}$: внесем множитель 3 под знак корня.
$3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\sqrt{125}$ и $\sqrt{63}$.
Поскольку подкоренное выражение $125$ больше, чем $63$, то и $\sqrt{125} > \sqrt{63}$.

Следовательно, $5\sqrt{5} > 3\sqrt{7}$.

Ответ: $5\sqrt{5} > 3\sqrt{7}$.

2) $2\sqrt{18}$ и $3\sqrt{8}$

Применим то же преобразование — внесение множителя под знак корня.

Для первого выражения $2\sqrt{18}$:
$2\sqrt{18} = \sqrt{2^2 \cdot 18} = \sqrt{4 \cdot 18} = \sqrt{72}$.

Для второго выражения $3\sqrt{8}$:
$3\sqrt{8} = \sqrt{3^2 \cdot 8} = \sqrt{9 \cdot 8} = \sqrt{72}$.

Сравним полученные результаты: $\sqrt{72}$ и $\sqrt{72}$.
Подкоренные выражения равны, значит, и сами выражения равны.

Следовательно, $2\sqrt{18} = 3\sqrt{8}$.

Ответ: $2\sqrt{18} = 3\sqrt{8}$.