Номер 3, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 167.

Условие.

3. Можно ли произведение корней из неотрицательных чисел заменить корнем из произведения этих чисел?

Решение 4.

Да, можно. Это утверждение является одним из основных свойств арифметического квадратного корня. Оно формулируется в виде тождества, справедливого для любых неотрицательных чисел.

Свойство гласит: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.Это означает, что корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Соответственно, и обратное верно: произведение корней из неотрицательных чисел можно заменить корнем из их произведения.

Доказательство:

По определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $x$ называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, должно выполняться два условия: $y \ge 0$ и $y^2 = x$.

Рассмотрим выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Проверим для него оба условия:

1. Неотрицательность. Так как $a$ и $b$ — неотрицательные числа, то их арифметические корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ также по определению неотрицательны. Произведение двух неотрицательных чисел $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является неотрицательным числом.

2. Возведение в квадрат. Возведем наше выражение в квадрат, используя свойство степени произведения:$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$.По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.Следовательно, $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b$.

Таким образом, мы показали, что выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является неотрицательным числом, квадрат которого равен $a \cdot b$. Это в точности соответствует определению арифметического квадратного корня из числа $a \cdot b$. Значит, равенство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ доказано.

Пример:

Проверим равенство на числах $a = 16$ и $b = 25$.
Произведение корней: $\sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 4 \cdot 5 = 20$.
Корень из произведения: $\sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20$.
Результаты совпадают, что подтверждает справедливость свойства.

Важное замечание: данное свойство выполняется только для неотрицательных чисел. Для отрицательных чисел в поле действительных чисел корень не определен, а в поле комплексных чисел это тождество, в общем случае, неверно.

Ответ: Да, произведение корней из неотрицательных чисел можно заменить корнем из произведения этих чисел. Это следует из свойства арифметического квадратного корня: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$.