Номер 1, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 1, страница 167.

Условие.

1. Сформулировать теорему о корне из произведения двух неотрицательных чисел.

Решение 4.

1. Теорема о корне из произведения двух неотрицательных чисел формулируется следующим образом: корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.

Математически эта теорема записывается в виде формулы. Если даны два неотрицательных числа $a$ и $b$, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то для них справедливо равенство:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Доказательство теоремы:

По определению арифметического квадратного корня из числа $x$, это такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, $\sqrt{x} = y$ при выполнении двух условий: $y \ge 0$ и $y^2 = x$.

Чтобы доказать равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, нам нужно проверить, что выражение в правой части, то есть $\sqrt{a}\sqrt{b}$, удовлетворяет этим двум условиям для подкоренного выражения $ab$.

1. Проверка неотрицательности.

По условию теоремы, числа $a$ и $b$ неотрицательны ($a \ge 0$ и $b \ge 0$). По определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда является неотрицательным числом. Следовательно, $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполнено.

2. Проверка равенства квадрата подкоренному выражению.

Возведем выражение $\sqrt{a}\sqrt{b}$ в квадрат. Используя свойство степени произведения, получаем: $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$.

По определению квадратного корня, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $(\sqrt{x})^2 = x$. Значит, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.

Таким образом, $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = a \cdot b$. Второе условие выполнено.

Так как оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются для выражения $\sqrt{a}\sqrt{b}$, мы доказали, что $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Ответ: Теорема о корне из произведения: для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ ($a \ge 0, b \ge 0$) справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, то есть корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.