Номер 405, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 23. Квадратный корень из степени. Глава 4. Квадратные корни - номер 405, страница 164.

Условие.

405. Решить уравнение:

1) $\sqrt{(x-2)^2} = x-2;$

2) $\sqrt{(x-2)^2} = 2-x.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Рассмотрим уравнение $\sqrt{(x - 2)^2} = x - 2$.
Основное свойство квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$. Применим это свойство к левой части нашего уравнения, положив $a = x - 2$.
Уравнение принимает вид:
$|x - 2| = x - 2$.
По определению модуля, равенство вида $|y| = y$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $y \ge 0$.
В нашем случае $y = x - 2$, следовательно, должно выполняться неравенство:
$x - 2 \ge 0$
Решая это неравенство, получаем:
$x \ge 2$.
Таким образом, решением уравнения является любое число $x$, удовлетворяющее этому условию.
Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

2) Рассмотрим уравнение $\sqrt{(x - 2)^2} = 2 - x$.
Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$.
Уравнение преобразуется к виду:
$|x - 2| = 2 - x$.
Обратим внимание, что правая часть уравнения $2 - x$ является противоположным выражением к выражению под модулем: $2 - x = -(x - 2)$.
Таким образом, наше уравнение можно переписать как:
$|x - 2| = -(x - 2)$.
По определению модуля, равенство вида $|y| = -y$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $y \le 0$.
В нашем случае $y = x - 2$, следовательно, должно выполняться неравенство:
$x - 2 \le 0$
Решая это неравенство, получаем:
$x \le 2$.
Следовательно, решением уравнения является любое число $x$, удовлетворяющее этому условию.
Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.