Номер 5, страница 167 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 5, страница 167.

Условие.

5. При каких значениях $a$ верно равенство $\sqrt{a^2}=-a;$ $\sqrt{a^2}=a?$

Решение 4.

$ \sqrt{a^2} = -a $

Основное свойство арифметического квадратного корня заключается в том, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $ \sqrt{x^2} = |x| $, где $ |x| $ — это модуль (абсолютная величина) числа $x$.

Применяя это свойство, мы можем переписать исходное равенство $ \sqrt{a^2} = -a $ в следующем виде:

$ |a| = -a $

Теперь проанализируем, при каких значениях $a$ это равенство является верным. Вспомним определение модуля:

$ |a| = a $, если $ a \ge 0 $ (модуль неотрицательного числа равен самому числу).

$ |a| = -a $, если $ a < 0 $ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу).

Из определения модуля напрямую следует, что равенство $ |a| = -a $ верно для всех отрицательных значений $a$ (когда $ a < 0 $).

Дополнительно проверим значение $ a = 0 $. При $ a = 0 $ имеем: $ |0| = 0 $ и $ -a = -0 = 0 $. Равенство $ 0 = 0 $ является верным.

Объединив результаты, мы приходим к выводу, что исходное равенство верно для всех отрицательных значений $a$ и для $ a = 0 $. Это можно записать в виде неравенства.

Ответ: при $ a \le 0 $.

$ \sqrt{a^2} = a $

Аналогично первому случаю, используем тождество $ \sqrt{a^2} = |a| $. Тогда исходное равенство $ \sqrt{a^2} = a $ можно переписать так:

$ |a| = a $

Снова обратимся к определению модуля. Равенство $ |a| = a $ является верным для всех неотрицательных значений $a$, то есть для всех $ a \ge 0 $.

Если мы рассмотрим случай, когда $ a < 0 $, то по определению модуля $ |a| = -a $. Наше равенство $ |a| = a $ примет вид $ -a = a $. Это уравнение можно решить: $ 2a = 0 $, откуда $ a = 0 $. Однако, это значение не удовлетворяет исходному предположению $ a < 0 $. Следовательно, среди отрицательных чисел решений нет.

Таким образом, равенство $ \sqrt{a^2} = a $ верно только для неотрицательных значений $a$.

Ответ: при $ a \ge 0 $.