Номер 410, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 410, страница 168.

Условие.

Вычислить (410-413).

410. 1) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32};$

2) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{90};$

3) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{21};$

4) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{11};$

5) $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3};$

6) $\sqrt{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы вычислить произведение корней $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$

Квадратный корень из 64 равен 8, так как $8^2 = 64$.

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

2)

Аналогично предыдущему примеру, применяем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{10} \cdot \sqrt{90} = \sqrt{10 \cdot 90} = \sqrt{900}$

Квадратный корень из 900 равен 30, так как $30^2 = 900$.

$\sqrt{900} = 30$

Ответ: 30

3)

Для произведения трех корней используем то же свойство: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 21}$

Так как $3 \cdot 7 = 21$, получаем:

$\sqrt{21 \cdot 21} = \sqrt{21^2} = 21$

Ответ: 21

4)

Применяем свойство произведения корней.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{2 \cdot 22 \cdot 11}$

Разложим число 22 на множители: $22 = 2 \cdot 11$.

$\sqrt{2 \cdot (2 \cdot 11) \cdot 11} = \sqrt{2^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(2 \cdot 11)^2} = \sqrt{22^2}$

$\sqrt{22^2} = 22$

Ответ: 22

5)

Воспользуемся свойством произведения корней для дробей.

$\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 3}$

Выполним умножение под корнем, сокращая множители:

$\sqrt{\frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3}}} = \sqrt{1}$

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: 1

6)

Применяем свойство произведения корней.

$\sqrt{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}} = \sqrt{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{8}}$

Умножим дроби под знаком корня, сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\sqrt{\frac{2 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7}}{\cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot 8}} = \sqrt{\frac{2}{8}}$

Сократим дробь $\frac{2}{8}$ на 2:

$\sqrt{\frac{1}{4}}$

Извлекаем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$