Номер 421, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 421, страница 169.

Условие.

421. Вычислить:

1) $(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2 - (\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13});$

2) $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{11}) - (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2 - (\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$

Решим задачу по частям.

Сначала упростим и раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Перед этим упростим корень из 45:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим это в первую часть выражения:

$(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2 = (\sqrt{5} - 3\sqrt{5})^2 = (-2\sqrt{5})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $(\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$.

Чтобы применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, переставим слагаемые в первой скобке и множители местами: $(\sqrt{11} + \sqrt{13})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$.

Теперь применим формулу, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{13}$:

$(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{13})^2 = 11 - 13 = -2$

Наконец, объединим результаты:

$20 - (-2) = 20 + 2 = 22$

Ответ: 22

2) $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{11}) - (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2$

Также решим по частям.

Рассмотрим первую часть: $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{11})$.

Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее применить формулу разности квадратов: $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{11} + \sqrt{7})$.

Применяем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{7}$:

$(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 = 11 - 7 = 4$

Теперь рассмотрим вторую часть: $(\sqrt{12} - \sqrt{3})^2$.

Сначала упростим корень из 12:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Подставим это в выражение:

$(2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Теперь вычтем результат второй части из результата первой:

$4 - 3 = 1$

Ответ: 1