Номер 3, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 189.

Условие.

3. Разложить на множители:

1) $x^2 - 81$; 2) $3x^2 - 75$; 3) $x^2 - 2$;

4) $2x^2 - 10$; 5) $x^2 - 6x + 9$; 6) $x^2 + 8x$.

Решение 4.

1) Для разложения выражения $x^2 - 81$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$.
$b^2 = 81$, значит $b = \sqrt{81} = 9$.
Подставим значения в формулу: $x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)$.
Ответ: $(x - 9)(x + 9)$.

2) Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель для $3x^2$ и $75$ это 3.
$3x^2 - 75 = 3(x^2 - 25)$.
Теперь выражение в скобках $x^2 - 25$ можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь $a = x$ и $b = \sqrt{25} = 5$.
Следовательно, $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
Итоговое разложение: $3(x - 5)(x + 5)$.
Ответ: $3(x - 5)(x + 5)$.

3) Выражение $x^2 - 2$ также является разностью квадратов, где $a = x$ и $b = \sqrt{2}$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим 2 как $(\sqrt{2})^2$.
$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.
Ответ: $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.

4) В выражении $2x^2 - 10$ вынесем общий множитель 2 за скобки.
$2x^2 - 10 = 2(x^2 - 5)$.
Выражение в скобках $x^2 - 5$ является разностью квадратов.
Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = \sqrt{5}$.
$x^2 - 5 = x^2 - (\sqrt{5})^2 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$.
Окончательный вид разложения: $2(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$.
Ответ: $2(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$.

5) Выражение $x^2 - 6x + 9$ представляет собой полный квадрат разности.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a = x$.
$b^2 = 9$, значит $b = 3$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot x \cdot 3 = -6x$. Он совпадает с членом в исходном выражении.
Следовательно, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Ответ: $(x - 3)^2$.

6) В выражении $x^2 + 8x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки.
$x^2 + 8x = x \cdot x + 8 \cdot x = x(x + 8)$.
Ответ: $x(x + 8)$.