Номер 543, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 543, страница 223.

Условие.

543. Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно:

1) 156;

2) 210.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Пусть первое искомое натуральное число равно $n$, тогда следующее за ним (последовательное) натуральное число будет равно $n+1$. По условию задачи, их произведение равно 156. Составим и решим уравнение:
$n \cdot (n+1) = 156$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 + n - 156 = 0$
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625$
Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 25}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 25}{2} = \frac{-26}{2} = -13$
Так как по условию мы ищем натуральные числа (положительные целые), то корень $n_2 = -13$ не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, первое число равно 12. Тогда второе число равно $n+1 = 12+1=13$.
Проверка: $12 \cdot 13 = 156$.
Ответ: 12 и 13.

2) Аналогично первому пункту, пусть искомые числа равны $n$ и $n+1$. Их произведение равно 210. Составим и решим уравнение:
$n \cdot (n+1) = 210$
$n^2 + n - 210 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15$
Корень $n_2 = -15$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит.
Таким образом, первое число равно 14. Второе число равно $n+1 = 14+1=15$.
Проверка: $14 \cdot 15 = 210$.
Ответ: 14 и 15.