Номер 546, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 546, страница 224.

Условие.

546. Сад площадью 2,45 га обнесён изгородью длиной 630 м. Найти длину и ширину сада, если он имеет прямоугольную форму.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть длина сада равна $a$ метров, а ширина – $b$ метров.

По условию, площадь сада составляет $S = 2,45$ га, а его периметр (длина изгороди) равен $P = 630$ м.

Сначала переведем площадь из гектаров в квадратные метры, чтобы все единицы были согласованы. Мы знаем, что 1 гектар (га) равен 10 000 квадратных метров ($м^2$).

$S = 2,45 \text{ га} = 2,45 \times 10000 \text{ м}^2 = 24500 \text{ м}^2$

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$.
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $2(a+b) = 630$

2) $a \cdot b = 24500$

Из первого уравнения выразим сумму длины и ширины:

$a+b = \frac{630}{2}$

$a+b = 315$

Теперь из этого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $b$ через $a$:

$b = 315 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$a \cdot (315 - a) = 24500$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$315a - a^2 = 24500$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:

$a^2 - 315a + 24500 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = (-315)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24500 = 99225 - 98000 = 1225$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Теперь найдем два возможных значения для $a$:

$a_1 = \frac{-(-315) - 35}{2 \cdot 1} = \frac{315 - 35}{2} = \frac{280}{2} = 140$

$a_2 = \frac{-(-315) + 35}{2 \cdot 1} = \frac{315 + 35}{2} = \frac{350}{2} = 175$

Мы получили два корня для одной из сторон. Найдем вторую сторону для каждого из случаев:

Если $a_1 = 140$ м, то $b_1 = 315 - 140 = 175$ м.

Если $a_2 = 175$ м, то $b_2 = 315 - 175 = 140$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны сада равны 140 м и 175 м. По соглашению, длина обычно является большей стороной.

Ответ: Длина сада 175 м, а ширина 140 м.