Номер 547, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 547, страница 224.

Условие.

547. Расстояние 400 км скорый поезд прошёл на час быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $x$ км/ч — скорость скорого поезда. Согласно условию, скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, следовательно, она равна $(x - 20)$ км/ч.

Оба поезда проходят расстояние $S = 400$ км. Время в пути для каждого поезда можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, за которое скорый поезд проходит это расстояние, составляет $t_{скорый} = \frac{400}{x}$ часов.

Время, за которое товарный поезд проходит это же расстояние, составляет $t_{товарный} = \frac{400}{x-20}$ часов.

Известно, что скорый поезд прошел расстояние на 1 час быстрее товарного. Это значит, что время в пути товарного поезда на 1 час больше времени скорого. На основе этого составим уравнение:

$t_{товарный} - t_{скорый} = 1$

$\frac{400}{x-20} - \frac{400}{x} = 1$

Для решения данного уравнения необходимо, чтобы $x \neq 0$ и $x \neq 20$. Поскольку $x$ — это скорость, то $x > 0$. Скорость товарного поезда $(x-20)$ также должна быть положительной, поэтому $x > 20$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-20)$, чтобы избавиться от дробей:

$400x - 400(x-20) = x(x-20)$

Раскроем скобки:

$400x - 400x + 8000 = x^2 - 20x$

$8000 = x^2 - 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x - 8000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-20$, $c=-8000$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{20 + \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 180}{2} = \frac{200}{2} = 100$

$x_2 = \frac{20 - \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 180}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Следовательно, скорость скорого поезда составляет $x = 100$ км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда:

$v_{товарный} = x - 20 = 100 - 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость скорого поезда — 100 км/ч, скорость товарного поезда — 80 км/ч.