Номер 7, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 7, страница 223.

Условие.

7. Решить уравнение:

1) $\frac{x-2}{x^2-4}=0;$

2) $\frac{x^2-9}{x+3}=0.$

Решение 4.

1) $\frac{x-2}{x^2-4} = 0$

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение из первого условия системы:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень второму условию системы (области допустимых значений). Для этого найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 4 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-2)(x+2) = 0$

Это равенство верно при $x=2$ или $x=-2$. Следовательно, область допустимых значений для исходного уравнения: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Корень, который мы получили из числителя, $x=2$, совпадает с одним из значений, исключаемых из области допустимых значений. Это означает, что при $x=2$ знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем.

Так как других корней у числителя нет, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $\frac{x^2-9}{x+3} = 0$

Уравнение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 9 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 9 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(x-3)(x+3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x-3=0$ или $x+3=0$

$x_1 = 3$

$x_2 = -3$

Теперь проверим выполнение второго условия системы для найденных корней:

$x + 3 \neq 0$, что означает $x \neq -3$.

Сравним полученные корни с этим условием:

• Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x \neq -3$, следовательно, является решением уравнения.
• Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$, следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $x=3$.