Номер 549, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 549, страница 224.

Условие.

549. Две бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из бригад для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи обозначим за $x$ количество дней, которое требуется одной из бригад (более медленной) для выполнения всей работы в одиночку. Тогда второй бригаде, которая работает быстрее, потребуется на 5 дней меньше, то есть $x - 5$ дней.

Производительность труда — это часть работы, выполняемая за один день. Примем всю работу за 1. Тогда производительность первой (более медленной) бригады составляет $\frac{1}{x}$ работы в день, а производительность второй (более быстрой) бригады — $\frac{1}{x-5}$ работы в день.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. По условию, вместе они выполняют всю работу за 6 дней, следовательно, их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в день.

Составим уравнение, приравняв сумму производительностей к их совместной производительности:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{(x-5) + x}{x(x-5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x-5}{x^2-5x} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$6(2x-5) = 1(x^2-5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 17, а их произведение равно 30. Легко подобрать корни: $x_1 = 15$ и $x_2 = 2$.Либо можно найти корни через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 = 13^2$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 13}{2}$$x_1 = \frac{17+13}{2} = \frac{30}{2} = 15$$x_2 = \frac{17-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь необходимо проверить полученные корни на соответствие условию задачи. Время на выполнение работы не может быть отрицательным, поэтому $x-5$ должно быть больше нуля ($x-5 > 0$), что означает $x > 5$.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет этому условию ($15 > 5$). В этом случае время работы одной бригады — 15 дней, а время работы второй бригады — $15 - 5 = 10$ дней. Эти значения являются решением задачи.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x > 5$. Если бы $x=2$, то время работы второй бригады было бы $2 - 5 = -3$ дня, что физически невозможно. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, одной бригаде для выполнения работы требуется 10 дней, а другой — 15 дней.

Ответ: одной бригаде потребовалось бы 10 дней, а другой — 15 дней.