Номер 553, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 32. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 553, страница 224.

Условие.

553. Две бригады строителей, работая вместе, построили кошару для овец за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на строительство такой же кошары каждой бригаде отдельно, если первой бригаде нужно было работать на 10 дней больше, чем второй?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Примем весь объем работы по строительству кошары за 1 (единицу).

Пусть второй бригаде для выполнения всей работы в одиночку требуется $x$ дней.

Согласно условию, первой бригаде на выполнение этой же работы требуется на 10 дней больше, то есть $(x + 10)$ дней.

Теперь определим производительность (скорость выполнения работы) каждой бригады. Производительность — это часть работы, выполняемая за один день.

• Производительность первой бригады: $\frac{1}{x+10}$ работы в день.
• Производительность второй бригады: $\frac{1}{x}$ работы в день.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна:

$P_{общ} = \frac{1}{x+10} + \frac{1}{x}$

По условию, работая вместе, они построили кошару за 12 дней. Это означает, что их совместная производительность также равна $\frac{1}{12}$ работы в день.

Приравняем два выражения для совместной производительности и получим уравнение:

$\frac{1}{x+10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{x}{x(x+10)} + \frac{x+10}{x(x+10)} = \frac{1}{12}$

$\frac{x + x + 10}{x^2 + 10x} = \frac{1}{12}$

$\frac{2x + 10}{x^2 + 10x} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей. Область допустимых значений $x \neq 0$ и $x \neq -10$.

$12(2x + 10) = 1(x^2 + 10x)$

$24x + 120 = x^2 + 10x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 24x - 120 = 0$

$x^2 - 14x - 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=-14, c=-120$

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 26}{2}$

$x_1 = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как $x$ представляет количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -6$ является посторонним и не соответствует условию задачи.

Следовательно, второй бригаде для постройки кошары требуется 20 дней.

Тогда первой бригаде потребуется:

$x + 10 = 20 + 10 = 30$ дней.

Ответ: первой бригаде потребовалось бы 30 дней, а второй бригаде — 20 дней.