Номер 1, страница 231 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 231.

Условие.

1. Что называется решением системы уравнений с двумя неизвестными?

Решение 4.

1. Что называется решением системы уравнений с двумя неизвестными?

Решением системы уравнений с двумя неизвестными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Это означает, что если подставить значения $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$ во все уравнения, входящие в систему, то каждое из них превратится в верное числовое равенство.

Рассмотрим пример. Пусть дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases} $$

Проверим, является ли пара чисел $(1; 2)$ решением этой системы. Для этого выполним подстановку $x=1$ и $y=2$ в оба уравнения:

1. Проверка для первого уравнения: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.
2. Проверка для второго уравнения: $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Равенство $1 = 1$ также является верным.

Поскольку пара чисел $(1; 2)$ обращает в верное равенство каждое из уравнений системы, она является решением данной системы.

Если бы хотя бы одно из уравнений не обратилось в верное равенство, то пара чисел не была бы решением системы. Например, пара $(3; 1)$ является решением первого уравнения ($3 + 2 \cdot 1 = 5$), но не является решением второго ($3 \cdot 3 - 1 = 8 \neq 1$), поэтому она не является решением всей системы.

Геометрически, если каждое уравнение системы задает на координатной плоскости некоторую линию (например, прямую для линейного уравнения), то решением системы будут координаты точки (или точек) пересечения этих линий.

Ответ: Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара чисел, при подстановке которой в каждое уравнение системы получается верное числовое равенство.