Номер 4, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 232.

Условие.

4. Решить систему уравнений способом сложения:

1) $\begin{cases} x - y = 14, \\ x + y = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ 3x + y = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - 3y + 8 = 0, \\ 4x - 2y + 4 = 0. \end{cases}$

Решение 4.

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 14 \\ x + y = 10 \end{cases} $
В данной системе коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$). Поэтому, чтобы решить систему, можно сложить два уравнения.

Сложим левые и правые части уравнений почленно:

$(x - y) + (x + y) = 14 + 10$

$x + x - y + y = 24$

$2x = 24$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{24}{2}$

$x = 12$

Подставим найденное значение $x=12$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Удобнее всего подставить во второе уравнение ($x + y = 10$):

$12 + y = 10$

$y = 10 - 12$

$y = -2$

Решением системы является пара чисел $(12, -2)$.

Ответ: $(12, -2)$

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x + y = 12 \end{cases} $
В этой системе коэффициенты при переменной $y$ равны. Чтобы исключить $y$, можно вычесть одно уравнение из другого. Вычтем первое уравнение из второго.

$(3x + y) - (2x + y) = 12 - 7$

$3x + y - 2x - y = 5$

$x = 5$

Подставим найденное значение $x=5$ в первое исходное уравнение ($2x + y = 7$), чтобы найти $y$:

$2(5) + y = 7$

$10 + y = 7$

$y = 7 - 10$

$y = -3$

Решением системы является пара чисел $(5, -3)$.

Ответ: $(5, -3)$

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y + 8 = 0 \\ 4x - 2y + 4 = 0 \end{cases} $
Сначала приведем уравнения к стандартному виду $ax + by = c$, перенеся свободные члены в правую часть:

$ \begin{cases} 2x - 3y = -8 \\ 4x - 2y = -4 \end{cases} $

Чтобы использовать метод сложения, нужно, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на $-2$. Тогда коэффициент при $x$ станет $-4$, что является противоположностью коэффициенту $4$ во втором уравнении.

$-2 \cdot (2x - 3y) = -2 \cdot (-8)$

$-4x + 6y = 16$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-4x + 6y) + (4x - 2y) = 16 + (-4)$

$-4x + 4x + 6y - 2y = 12$

$4y = 12$

Найдем $y$:

$y = \frac{12}{4}$

$y = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ в первое исходное уравнение в стандартной форме ($2x - 3y = -8$):

$2x - 3(3) = -8$

$2x - 9 = -8$

$2x = -8 + 9$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Решением системы является пара чисел $(\frac{1}{2}, 3)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 3)$