Номер 562, страница 232 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 562, страница 232.

Условие.

562. 1) $\begin{cases} x+y=5, \\ xy=6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy=7, \\ x+y=8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x+y=12, \\ xy=11; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x+y=-7, \\ xy=10. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Данная система является симметрической. Для её решения удобно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно этой теореме, если известны сумма и произведение двух чисел, то эти числа являются корнями некоторого квадратного уравнения. Если $x+y=S$ и $xy=P$, то $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - St + P = 0$.

В нашем случае, $x+y=5$ и $xy=6$. Составим соответствующее квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Таким образом, числа $x$ и $y$ равны 2 и 3. Система имеет два решения в виде пар чисел.

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.

2)

Дана система: $xy = 7$, $x+y = 8$. Эта система также является симметрической.

Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, корнями которого будут $x$ и $y$.

Подставим значения из системы: $t^2 - 8t + 7 = 0$.

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1; 7)$ и $(7; 1)$.

Ответ: $(1; 7), (7; 1)$.

3)

Дана система: $x+y = 12$, $xy = 11$.

Используем теорему, обратную теореме Виета, и составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, корнями которого являются $x$ и $y$.

Подставим данные из системы: $t^2 - 12t + 11 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{100}}{2} = \frac{12 - 10}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{100}}{2} = \frac{12 + 10}{2} = 11$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(1; 11)$ и $(11; 1)$.

Ответ: $(1; 11), (11; 1)$.

4)

Дана система: $x+y = -7$, $xy = 10$.

Применим теорему, обратную теореме Виета. Составим квадратное уравнение $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, корнями которого будут $x$ и $y$.

Подставим значения из системы: $t^2 - (-7)t + 10 = 0$, что равносильно $t^2 + 7t + 10 = 0$.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = -5$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-5; -2)$ и $(-2; -5)$.

Ответ: $(-5; -2), (-2; -5)$.