Номер 565, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 565, страница 233.

Условие.

565. Сумма двух чисел равна 18, а их произведение 65. Найти эти числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Сумма чисел равна 18: $x + y = 18$
2. Произведение чисел равно 65: $x \cdot y = 65$

Это классическая задача, которую можно решить с помощью подстановки или используя теорему Виета. Решим методом подстановки.

Выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = 18 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$x \cdot (18 - x) = 65$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$18x - x^2 = 65$
$-x^2 + 18x - 65 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$x^2 - 18x + 65 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 - 260 = 64$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два возможных значения для одного из чисел. Теперь найдем второе число для каждого случая:
1. Если $x = 13$, то $y = 18 - x = 18 - 13 = 5$.
2. Если $x = 5$, то $y = 18 - x = 18 - 5 = 13$.

В обоих случаях мы получаем одну и ту же пару чисел: 5 и 13.

Сделаем проверку:
Сумма: $5 + 13 = 18$.
Произведение: $5 \cdot 13 = 65$.
Условия задачи выполняются.

Ответ: 5 и 13.