Номер 569, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 569, страница 233.

Условие.

569. 1) $\begin{cases} x + xy + y = -1, \\ x - xy + y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - xy - y = -7, \\ x + xy - y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y + 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 4 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 3xy + y^2 = 11, \\ xy = 5. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + xy + y = -1 \\ x - xy + y = 3 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы избавиться от члена $xy$:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = -1 + 3$

$2x + 2y = 2$

Разделим обе части на 2:

$x + y = 1$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = -1 - 3$

$2xy = -4$

$xy = -2$

Мы получили новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(1 - x) = -2$

$x - x^2 = -2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -2$ и $x_1 + x_2 = 1$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - xy - y = -7 \\ x + xy - y = 1 \end{cases} $

Сложим оба уравнения:

$(x - xy - y) + (x + xy - y) = -7 + 1$

$2x - 2y = -6$

Разделим обе части на 2:

$x - y = -3$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(x + xy - y) - (x - xy - y) = 1 - (-7)$

$2xy = 8$

$xy = 4$

Получили систему:

$ \begin{cases} x - y = -3 \\ xy = 4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y - 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y - 3)y = 4$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -4$ и $y_1 + y_2 = 3$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 4 - 3 = 1$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 - 3 = -4$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(1, 4), (-4, -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y + 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 4 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x^2$:

$x^2 = y - 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y - 2) + y^2 - 4 = 0$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -6$ и $y_1 + y_2 = -1$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Теперь найдем значения $x$, соответствующие каждому значению $y$.

Если $y_1 = 2$, то $x^2 = 2 - 2 = 0$. Отсюда $x = 0$. Получаем решение $(0, 2)$.

Если $y_2 = -3$, то $x^2 = -3 - 2 = -5$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, система имеет только одно действительное решение.

Ответ: $(0, 2)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3xy + y^2 = 11 \\ xy = 5 \end{cases} $

Подставим значение $xy = 5$ из второго уравнения в первое:

$x^2 - 3(5) + y^2 = 11$

$x^2 - 15 + y^2 = 11$

$x^2 + y^2 = 11 + 15$

$x^2 + y^2 = 26$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 26 \\ xy = 5 \end{cases} $

Эта система является симметрической. Можно использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Подставим известные значения: $(x+y)^2 = (x^2+y^2) + 2(xy) = 26 + 2(5) = 36$.

Из этого следует, что $x+y = \sqrt{36}$ или $x+y = -\sqrt{36}$.

$x+y = 6$ или $x+y = -6$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x + y = 6$. Вместе с уравнением $xy = 5$ получаем систему: $ \begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases} $.

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. Его корни $t_1 = 1, t_2 = 5$. Это дает нам две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Случай 2: $x + y = -6$. Вместе с уравнением $xy = 5$ получаем систему: $ \begin{cases} x+y = -6 \\ xy = 5 \end{cases} $.

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-6)t + 5 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 5 = 0$. Его корни $t_3 = -1, t_4 = -5$. Это дает нам еще две пары решений: $(-1, -5)$ и $(-5, -1)$.

Всего система имеет четыре пары решений.

Ответ: $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$.