Номер 572, страница 233 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 33. Исследование и решение систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 572, страница 233.

Условие.

572. При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Согласно первому условию, при делении этого числа на сумму его цифр ($a+b$) в частном получается 6, а в остатке 4. Это можно записать в виде уравнения, используя формулу деления с остатком (делимое = делитель ⋅ частное + остаток):

$10a + b = 6(a + b) + 4$

При этом остаток всегда должен быть меньше делителя, то есть:

$4 < a + b$

Упростим первое уравнение:

$10a + b = 6a + 6b + 4$
$10a - 6a = 6b - b + 4$
$4a = 5b + 4$
$4a - 4 = 5b$
$4(a - 1) = 5b$

Из этого уравнения следует, что выражение $5b$ должно быть кратно 4. Поскольку число 5 не делится на 4, то цифра $b$ должна быть кратна 4. Возможные значения для $b$: 0, 4, 8.

Рассмотрим каждый из возможных случаев для $b$:

• Если $b = 0$, то $4(a - 1) = 5 \cdot 0 \implies 4(a - 1) = 0 \implies a - 1 = 0 \implies a = 1$. Получается число 10. Проверим для него неравенство $4 < a + b \implies 4 < 1 + 0 \implies 4 < 1$. Это неверно, значит, этот вариант не подходит.
• Если $b = 4$, то $4(a - 1) = 5 \cdot 4 \implies 4(a - 1) = 20 \implies a - 1 = 5 \implies a = 6$. Получается число 64. Проверим для него неравенство $4 < a + b \implies 4 < 6 + 4 \implies 4 < 10$. Это верно. Этот вариант является возможным решением.
• Если $b = 8$, то $4(a - 1) = 5 \cdot 8 \implies 4(a - 1) = 40 \implies a - 1 = 10 \implies a = 11$. Цифра десятков $a$ не может быть двузначным числом, поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее первому условию, — это 64.

Теперь проверим это число по второму условию задачи. При делении этого же числа (64) на произведение его цифр ($a \cdot b$) в частном получается 2, а в остатке 16.

Произведение цифр числа 64 равно $6 \cdot 4 = 24$.

Составим уравнение для второго условия:

$10a + b = 2(a \cdot b) + 16$

Подставим в него значения $a=6$ и $b=4$:

$64 = 2(6 \cdot 4) + 16$
$64 = 2(24) + 16$
$64 = 48 + 16$
$64 = 64$

Равенство верное. Также проверяем условие для остатка: остаток (16) должен быть меньше делителя (24). $16 < 24$, что также верно.

Оба условия задачи выполняются для числа 64.

Ответ: 64