Номер 2, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 2, страница 238.

Условие.

2. Как следует преобразовать уравнения системы в задаче 2, чтобы её можно было решить с помощью теоремы, обратной теореме Виета?

Решение 4.

Для того чтобы решить систему уравнений с помощью теоремы, обратной теореме Виета, необходимо преобразовать исходную систему к такому виду, где явно выражены сумма и произведение неизвестных переменных. Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $u$ и $v$ таковы, что их сумма $u+v = S$ и их произведение $u \cdot v = P$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $z^2 - Sz + P = 0$.

Следовательно, цель преобразования — получить из исходной системы новую, эквивалентную ей систему вида:

$\begin{cases} x+y=S \\ xy=P \end{cases}$

где $x$ и $y$ — переменные системы, а $S$ и $P$ — некоторые числа или выражения, которые мы находим в процессе преобразований.

Поскольку сама "задача 2" не приведена, рассмотрим общий подход на типичном примере. Предположим, что система уравнений в задаче 2 имеет вид, где напрямую не дана сумма или произведение переменных. Например:

$\begin{cases} x+y=8 \\ x^2+y^2=40 \end{cases}$

Чтобы привести эту систему к нужному виду, выполним следующие преобразования:

1. Первое уравнение уже дает нам сумму переменных: $x+y=8$. Таким образом, мы нашли значение $S=8$.

2. Теперь нам нужно найти произведение переменных, $xy=P$. Для этого воспользуемся вторым уравнением и алгебраическим тождеством, связывающим квадрат суммы с суммой квадратов: $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$.

3. Подставим известные значения из нашей системы в это тождество. Мы знаем, что $x+y=8$ и $x^2+y^2=40$.

   $8^2 = 40 + 2xy$

4. Решим полученное уравнение относительно $xy$:

   $64 = 40 + 2xy$

   $2xy = 64 - 40$

   $2xy = 24$

   $xy = 12$

   Таким образом, мы нашли значение $P=12$.

5. Теперь исходная система преобразована к виду, подходящему для применения теоремы, обратной теореме Виета:

   $\begin{cases} x+y=8 \\ xy=12 \end{cases}$

После такого преобразования мы можем утверждать, что $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 8z + 12 = 0$. Решив это уравнение, мы найдем пары значений для $x$ и $y$.Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.Корни: $z_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8-4}{2} = 2$ и $z_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8+4}{2} = 6$.Следовательно, решениями системы являются пары $(2; 6)$ и $(6; 2)$.

Ответ: Уравнения системы следует преобразовать таким образом, чтобы получить эквивалентную систему вида $\begin{cases} x+y=S \\ xy=P \end{cases}$. Это достигается путем алгебраических манипуляций с исходными уравнениями (например, возведение в квадрат, использование формул сокращенного умножения) с целью выразить сумму ($x+y$) и произведение ($xy$) переменных через известные константы.