Номер 575, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 575, страница 238.

Условие.

Решить систему уравнений (575—586).

575. 1) $\begin{cases} xy - x + y = 7, \\ xy + x - y = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy - 2(x + y) = 2, \\ xy + x + y = 29. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - x + y = 7 \\ xy + x - y = 13 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод введения новых переменных. Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют выражения $xy$ и $x-y$ (во втором уравнении) или $y-x=-(x-y)$ (в первом уравнении).

Пусть $u = xy$ и $v = x - y$. Тогда первое уравнение можно записать как $u - (x - y) = 7$, то есть $u - v = 7$. Второе уравнение записывается как $u + (x - y) = 13$, то есть $u + v = 13$.

Получаем систему линейных уравнений относительно переменных $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u - v = 7 \\ u + v = 13 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $u$:

$(u - v) + (u + v) = 7 + 13$

$2u = 20$

$u = 10$

Теперь подставим найденное значение $u$ во второе уравнение $u + v = 13$:

$10 + v = 13$

$v = 3$

Мы нашли значения для $u$ и $v$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} xy = u = 10 \\ x - y = v = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 3)y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ из соотношения $x = y + 3$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 3 = 5$.

При $y_2 = -5$, $x_2 = -5 + 3 = -2$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(5, 2)$, $(-2, -5)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - 2(x + y) = 2 \\ xy + x + y = 29 \end{cases} $$

Эта система также решается методом введения новых переменных. В обоих уравнениях есть выражения $xy$ и $x+y$.

Пусть $u = xy$ и $v = x + y$.

Подставив эти переменные в исходную систему, получим:

$$ \begin{cases} u - 2v = 2 \\ u + v = 29 \end{cases} $$

Получили простую систему линейных уравнений. Чтобы найти $v$, вычтем первое уравнение из второго:

$(u + v) - (u - 2v) = 29 - 2$

$u + v - u + 2v = 27$

$3v = 27$

$v = 9$

Теперь подставим $v = 9$ во второе уравнение $u + v = 29$ для нахождения $u$:

$u + 9 = 29$

$u = 20$

Сделаем обратную замену, чтобы вернуться к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} xy = u = 20 \\ x + y = v = 9 \end{cases} $$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ с суммой 9 и произведением 20 являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 20 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти подбором: числа 4 и 5 в сумме дают 9 и в произведении 20. Или с помощью дискриминанта:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Корни $t_1$ и $t_2$ являются значениями для $x$ и $y$. Это означает, что если $x=5$, то $y=4$, и если $x=4$, то $y=5$.

Ответ: $(5, 4)$, $(4, 5)$.