Номер 578, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 578, страница 239.

Условие.

578. 1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15. \end{cases} $$ Это симметричная система уравнений. Для ее решения можно использовать следующий метод. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
Подставим в нее значения из системы:
$(x+y)^2 = 34 + 2 \cdot 15 = 34 + 30 = 64$.
Отсюда получаем два возможных значения для суммы $x+y$:
$x+y = \sqrt{64} = 8$ или $x+y = -\sqrt{64} = -8$.

Теперь воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$.
Подставим в нее значения из системы:
$(x-y)^2 = 34 - 2 \cdot 15 = 34 - 30 = 4$.
Отсюда получаем два возможных значения для разности $x-y$:
$x-y = \sqrt{4} = 2$ или $x-y = -\sqrt{4} = -2$.

Теперь мы можем составить и решить четыре системы линейных уравнений, комбинируя полученные уравнения.

Случай 1: $$ \begin{cases} x+y = 8, \\ x-y = 2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = 10$, откуда $x = 5$. Подставив $x=5$ в первое уравнение, найдем $y$: $5+y=8 \Rightarrow y=3$. Получаем решение $(5; 3)$.

Случай 2: $$ \begin{cases} x+y = 8, \\ x-y = -2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = 6$, откуда $x = 3$. Подставив $x=3$ в первое уравнение, найдем $y$: $3+y=8 \Rightarrow y=5$. Получаем решение $(3; 5)$.

Случай 3: $$ \begin{cases} x+y = -8, \\ x-y = 2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = -6$, откуда $x = -3$. Подставив $x=-3$ в первое уравнение, найдем $y$: $-3+y=-8 \Rightarrow y=-5$. Получаем решение $(-3; -5)$.

Случай 4: $$ \begin{cases} x+y = -8, \\ x-y = -2. \end{cases} $$ Сложив два уравнения, получим $2x = -10$, откуда $x = -5$. Подставив $x=-5$ в первое уравнение, найдем $y$: $-5+y=-8 \Rightarrow y=-3$. Получаем решение $(-5; -3)$.

Ответ: $(5; 3), (3; 5), (-3; -5), (-5; -3)$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12. \end{cases} $$ Решим эту систему тем же методом, что и предыдущую.
Найдем квадрат суммы $x+y$:
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 2 \cdot 12 = 25 + 24 = 49$.
Следовательно, $x+y = 7$ или $x+y = -7$.

Найдем квадрат разности $x-y$:
$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 25 - 2 \cdot 12 = 25 - 24 = 1$.
Следовательно, $x-y = 1$ или $x-y = -1$.

Теперь рассмотрим четыре случая, комбинируя полученные уравнения.

Случай 1: $$ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = 1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = 8$, т.е. $x = 4$. Тогда $y = 7 - x = 7 - 4 = 3$. Решение: $(4; 3)$.

Случай 2: $$ \begin{cases} x+y = 7, \\ x-y = -1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = 6$, т.е. $x = 3$. Тогда $y = 7 - x = 7 - 3 = 4$. Решение: $(3; 4)$.

Случай 3: $$ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = 1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = -6$, т.е. $x = -3$. Тогда $y = -7 - x = -7 - (-3) = -4$. Решение: $(-3; -4)$.

Случай 4: $$ \begin{cases} x+y = -7, \\ x-y = -1. \end{cases} $$ Сложив уравнения, получаем $2x = -8$, т.е. $x = -4$. Тогда $y = -7 - x = -7 - (-4) = -3$. Решение: $(-4; -3)$.

Ответ: $(4; 3), (3; 4), (-3; -4), (-4; -3)$.