Номер 581, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 581, страница 239.

Условие.

581. 1)$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1, \\ x + y = 4; \end{cases}$

2)$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = \frac{3}{2}, \\ xy = 80; \end{cases}$

3)$\begin{cases} x - y = 3, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,3; \end{cases}$

4)$\begin{cases} x + y = 9, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,5. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x + y = 4 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y+x}{xy} = 1$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x+y=4$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{4}{xy} = 1$

Отсюда следует, что $xy = 4$.

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$\begin{cases} x+y=4 \\ xy=4 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t-2)^2 = 0$

Отсюда $t=2$. Так как корень один, то $x=y=2$.

Проверим решение, подставив значения в исходную систему:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (верно)

$2+2=4$ (верно)

Ответ: $(2; 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = \frac{3}{2} \\ xy = 80 \end{cases}$

ОДЗ: $x-y \neq 0 \implies x \neq y$. Также из второго уравнения $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$2(x+y) = 3(x-y)$

$2x+2y = 3x-3y$

$5y = x$

Теперь подставим выражение $x=5y$ во второе уравнение системы:

$(5y)y = 80$

$5y^2 = 80$

$y^2 = 16$

Отсюда $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 5y_1 = 5 \cdot 4 = 20$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 5y_2 = 5 \cdot (-4) = -20$.

Мы получили две пары решений: $(20; 4)$ и $(-20; -4)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Проверим первую пару $(20; 4)$:

$\frac{20+4}{20-4} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ (верно)

$20 \cdot 4 = 80$ (верно)

Проверим вторую пару $(-20; -4)$:

$\frac{-20+(-4)}{-20-(-4)} = \frac{-24}{-16} = \frac{3}{2}$ (верно)

$(-20) \cdot (-4) = 80$ (верно)

Ответ: $(20; 4)$, $(-20; -4)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y-x}{xy} = -0,3$

Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Из первого уравнения $x-y=3$, следовательно $y-x = -3$. Подставим это значение:

$\frac{-3}{xy} = -0,3$

$\frac{-3}{xy} = -\frac{3}{10}$

Отсюда следует, что $xy = 10$.

Теперь решаем систему:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 10 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y+3)y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=2, y_2=-5$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2+3 = 5$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5+3 = -2$.

Получили две пары решений: $(5; 2)$ и $(-2; -5)$.

Проверка для $(5; 2)$: $5-2=3$ (верно), $\frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{2-5}{10} = -0,3$ (верно).

Проверка для $(-2; -5)$: $-2 - (-5) = 3$ (верно), $\frac{1}{-2} - \frac{1}{-5} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{-5+2}{10} = -0,3$ (верно).

Ответ: $(5; 2)$, $(-2; -5)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x+y=9 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,5 \end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{y+x}{xy} = 0,5$

Из первого уравнения известно, что $x+y=9$. Подставим это значение:

$\frac{9}{xy} = 0,5$

$\frac{9}{xy} = \frac{1}{2}$

Отсюда $xy = 9 \cdot 2 = 18$.

Теперь мы имеем систему:

$\begin{cases} x+y=9 \\ xy=18 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 9t + 18 = 0$

Решим это уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $t_1+t_2=9, t_1 \cdot t_2=18$. Корни $t_1=3, t_2=6$.

Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(3; 6)$ и $(6; 3)$.

Проверим пару $(3; 6)$:

$3+6=9$ (верно)

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = 0,5$ (верно)

Поскольку уравнения симметричны относительно $x$ и $y$, пара $(6; 3)$ также является решением.

Ответ: $(3; 6)$, $(6; 3)$.