Номер 579, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 579, страница 239.

Условие.

579. 1) $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 2x^2 - xy - 3y^2 = 3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 133 \\ x + y = 7 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 - 2xy + x = -9 \\ 2y - 3x = 1 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 6xy + 8y^2 = 91 \\ x + 3y - 10 = 0 \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 2x^2 - xy - 3y^2 = 3 \end{cases} $

Левая часть второго уравнения, $2x^2 - xy - 3y^2$, является однородным многочленом. Его можно разложить на множители. Для этого решим вспомогательное квадратное уравнение $2t^2 - t - 3 = 0$, где $t = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$).
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $t_1 = \frac{1+5}{4} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{1-5}{4} = -1$.
Следовательно, $x = \frac{3}{2}y$ (или $2x - 3y = 0$) и $x = -y$ (или $x+y=0$).
Таким образом, $2x^2 - xy - 3y^2 = (2x - 3y)(x + y)$.

Система уравнений принимает вид: $ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ (2x - 3y)(x + y) = 3 \end{cases} $

Подставляем значение $2x - 3y$ из первого уравнения во второе: $1 \cdot (x + y) = 3$, откуда получаем $x + y = 3$.

Теперь решаем систему линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выражаем $x = 3 - y$ и подставляем в первое: $2(3 - y) - 3y = 1$
$6 - 2y - 3y = 1$
$6 - 5y = 1$
$5y = 5$
$y = 1$

Находим соответствующее значение $x$: $x = 3 - y = 3 - 1 = 2$.

Ответ: $(2, 1)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 133 \\ x + y = 7 \end{cases} $

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Первое уравнение можно переписать в виде: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 133$.

Подставляем значение $x+y=7$ из второго уравнения: $7(x^2 - xy + y^2) = 133$.
Разделив обе части на 7, получаем: $x^2 - xy + y^2 = 19$.

Теперь решаем новую, более простую систему: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 - xy + y^2 = 19 \end{cases} $

Из первого уравнения выражаем $y = 7 - x$ и подставляем во второе: $x^2 - x(7-x) + (7-x)^2 = 19$
$x^2 - 7x + x^2 + (49 - 14x + x^2) = 19$
$3x^2 - 21x + 49 = 19$
$3x^2 - 21x + 30 = 0$.

Разделим все уравнение на 3: $x^2 - 7x + 10 = 0$.
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Находим соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 7 - 2 = 5$.
Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 7 - 5 = 2$.

Ответ: $(2, 5), (5, 2)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 2xy + x = -9 \\ 2y - 3x = 1 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$: $2y = 1 + 3x$
$y = \frac{1 + 3x}{2}$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $2x^2 - 2x\left(\frac{1 + 3x}{2}\right) + x = -9$
$2x^2 - x(1 + 3x) + x = -9$
$2x^2 - x - 3x^2 + x = -9$.

Приводим подобные слагаемые: $-x^2 = -9$
$x^2 = 9$.

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = \frac{1 + 3(3)}{2} = \frac{1+9}{2} = 5$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = \frac{1 + 3(-3)}{2} = \frac{1-9}{2} = -4$.

Ответ: $(3, 5), (-3, -4)$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 6xy + 8y^2 = 91 \\ x + 3y - 10 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 10 - 3y$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(10 - 3y)^2 + 6(10 - 3y)y + 8y^2 = 91$.

Раскроем скобки и приведем подобные члены: $(100 - 60y + 9y^2) + (60y - 18y^2) + 8y^2 = 91$
$100 - 60y + 9y^2 + 60y - 18y^2 + 8y^2 = 91$
$(9-18+8)y^2 + (-60+60)y + 100 = 91$
$-y^2 + 100 = 91$.

Решаем полученное уравнение: $-y^2 = 91 - 100$
$-y^2 = -9$
$y^2 = 9$.

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 3$, $x_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.
При $y_2 = -3$, $x_2 = 10 - 3(-3) = 10 + 9 = 19$.

Ответ: $(1, 3), (19, -3)$.