Номер 585, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 585, страница 239.

Условие.

585. 1) $ \begin{cases} x + y = 41, \\ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{41}{20}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 10, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = 5, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x - y = 13, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 41 \\ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{41}{20} \end{cases} $$ Из наличия квадратных корней и дробей следует, что $x$ и $y$ должны быть одного знака и не равны нулю. Так как их сумма $x+y=41$ положительна, то $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы. Приведем дроби под корнями к общему знаменателю: $$ \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}} $$ Теперь второе уравнение имеет вид: $$ \frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \frac{41}{20} $$

Подставим в это уравнение значение $x+y$ из первого уравнения системы: $$ \frac{41}{\sqrt{xy}} = \frac{41}{20} $$ Разделим обе части на 41: $$ \frac{1}{\sqrt{xy}} = \frac{1}{20} \implies \sqrt{xy} = 20 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ xy = 400 $$

Теперь мы имеем более простую систему: $$ \begin{cases} x + y = 41 \\ xy = 400 \end{cases} $$ Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 41t + 400 = 0$. Найдем корни этого уравнения по формуле корней квадратного уравнения: $$ t = \frac{-(-41) \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} $$ Получаем два корня: $t_1 = \frac{41+9}{2} = 25$ $t_2 = \frac{41-9}{2} = 16$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(16, 25)$ и $(25, 16)$.
Ответ: $(16, 25), (25, 16)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 10 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Возведем второе уравнение в квадрат: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 4^2 $$ $$ x + 2\sqrt{xy} + y = 16 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x+y) + 2\sqrt{xy} = 16 $$ Подставим значение $x+y$ из первого уравнения системы: $$ 10 + 2\sqrt{xy} = 16 $$ $$ 2\sqrt{xy} = 6 $$ $$ \sqrt{xy} = 3 $$ Возведя в квадрат, получим $xy = 9$.

Теперь решаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 10 \\ xy = 9 \end{cases} $$ По теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. Это уравнение легко решается разложением на множители: $(t-1)(t-9) = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 9$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 9)$ и $(9, 1)$.
Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

3)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Возведем второе уравнение в квадрат: $$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 3^2 $$ $$ x + 2\sqrt{xy} + y = 9 $$ $$ (x+y) + 2\sqrt{xy} = 9 $$ Подставим $x+y=5$ из первого уравнения: $$ 5 + 2\sqrt{xy} = 9 $$ $$ 2\sqrt{xy} = 4 $$ $$ \sqrt{xy} = 2 $$ Отсюда $xy = 4$.

Решаем систему: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $$ По теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. Разложим на множители: $(t-1)(t-4) = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Решениями системы являются пары $(1, 4)$ и $(4, 1)$.
Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

4)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 13 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Также из второго уравнения $\sqrt{x} > \sqrt{y}$, что означает $x > y$.

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $$ x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$ Подставим известные значения из системы: $$ 13 = (1) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$ Отсюда получаем новое уравнение: $$ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 13 $$

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 13 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 13 $$ $$ 2\sqrt{x} = 14 \implies \sqrt{x} = 7 $$ Возведя в квадрат, получаем $x = 49$.

Подставим $\sqrt{x} = 7$ во второе уравнение новой системы: $$ 7 + \sqrt{y} = 13 \implies \sqrt{y} = 6 $$ Возведя в квадрат, получаем $y = 36$.

Решением системы является пара $(49, 36)$.
Ответ: $(49, 36)$.