Номер 582, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 582, страница 239.

Условие.

582. 1) $ \begin{cases} x^2 - y = 7, \\ x^2y = 18; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 + y = 3, \\ x^2y - 1 = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x^2 + y^2 = 29. \end{cases} $

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y = 7 \\ x^2y = 18 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменной. Пусть $a = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $a \ge 0$.

С новой переменной система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} a - y = 7 \\ ay = 18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $a$ через $y$:

$a = 7 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(7 + y)y = 18$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$7y + y^2 = 18$

$y^2 + 7y - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $a$.

1. При $y_1 = -9$:

$a_1 = 7 + y_1 = 7 + (-9) = -2$.

Так как мы ввели условие $a = x^2 \ge 0$, значение $a = -2$ не подходит. Следовательно, $y = -9$ не приводит к действительным решениям.

2. При $y_2 = 2$:

$a_2 = 7 + y_2 = 7 + 2 = 9$.

Это значение удовлетворяет условию $a \ge 0$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$x^2 = a_2 = 9$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, система имеет два решения: $(3, 2)$ и $(-3, 2)$.

Ответ: $(3, 2), (-3, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 + y = 3 \\ x^2y - 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем второе уравнение в виде $x^2y = 1$. Сделаем замену переменной $a = x^2$, где $a \ge 0$.

Система примет вид:

$\begin{cases} 2a + y = 3 \\ ay = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3 - 2a$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a(3 - 2a) = 1$

$3a - 2a^2 = 1$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Оба значения $a$ положительны и подходят по условию $a \ge 0$. Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого случая.

1. При $a_1 = \frac{1}{2}$:

$x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_1 = 3 - 2a_1 = 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 1 = 2$

Получаем два решения: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$.

2. При $a_2 = 1$:

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

$y_2 = 3 - 2a_2 = 3 - 2 \cdot 1 = 1$

Получаем еще два решения: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, 1), (-1, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, 2), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 12 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$

Эта система решается методом замены или сложения. Введем новые переменные $a = x^2$ и $b = y^2$. Условия: $a \ge 0, b \ge 0$.

Система в новых переменных:

$\begin{cases} a - b = 12 \\ a + b = 20 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 12 + 20$

$2a = 32 \implies a = 16$

Подставим значение $a=16$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$16 + b = 20 \implies b = 4$

Оба значения $a=16$ и $b=4$ неотрицательны. Вернемся к исходным переменным:

$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$

$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

Поскольку в исходные уравнения переменные входят только в квадрате, любая комбинация знаков для $x$ и $y$ будет давать верное равенство. Таким образом, получаем четыре решения.

Ответ: $(4, 2), (4, -2), (-4, 2), (-4, -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}$

Как и в предыдущем примере, введем переменные $a = x^2$ и $b = y^2$ ($a \ge 0, b \ge 0$).

Система примет вид:

$\begin{cases} a - b = 21 \\ a + b = 29 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 21 + 29$

$2a = 50 \implies a = 25$

Подставим $a=25$ во второе уравнение:

$25 + b = 29 \implies b = 4$

Выполним обратную замену:

$x^2 = 25 \implies x = \pm 5$

$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

Комбинируя все возможные знаки для $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(5, 2), (5, -2), (-5, 2), (-5, -2)$.