Номер 583, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 583, страница 239.

Условие.

583. 1) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 28, \\ xy^2 + x^2y = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy^2 + xy^3 = 10, \\ x + xy = 10. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 28 \\ xy^2 + x^2y = 12 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, вынеся за скобки общий множитель $xy$:

$xy(x+y) = 12$

Теперь преобразуем первое уравнение, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$(x+y)^3 - 3xy(x+y) = 28$

Сделаем замену переменных. Пусть $s = x+y$ и $p = xy$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} s^3 - 3sp = 28 \\ sp = 12 \end{cases} $$

Подставим значение $sp$ из второго уравнения в первое:

$s^3 - 3(12) = 28$

$s^3 - 36 = 28$

$s^3 = 64$

$s = 4$

Теперь найдем $p$ из уравнения $sp = 12$:

$4p = 12$

$p = 3$

Мы получили систему для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решим это уравнение. Его можно разложить на множители: $(t-1)(t-3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел $(1, 3)$ и $(3, 1)$, так как система симметрична относительно $x$ и $y$.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy^2 + xy^3 = 10 \\ x + xy = 10 \end{cases} $$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} xy^2(1 + y) = 10 \quad (1) \\ x(1 + y) = 10 \quad (2) \end{cases} $$

Из уравнения (2) следует, что $x \neq 0$ и $1+y \neq 0$ (т.е. $y \neq -1$), так как их произведение равно 10.

Поскольку правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$xy^2(1 + y) = x(1 + y)$

Так как мы установили, что $x \neq 0$ и $1+y \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x(1+y)$:

$y^2 = 1$

Отсюда получаем $y = 1$ или $y = -1$. Но так как $y \neq -1$, единственным возможным значением является $y=1$.

Подставим $y=1$ во второе уравнение исходной системы:

$x(1 + 1) = 10$

$2x = 10$

$x = 5$

Получаем решение $(5, 1)$. Выполним проверку, подставив значения в первое уравнение:

$5 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1^3 = 5 + 5 = 10$. Равенство верное.

Ответ: $(5, 1)$.