Номер 577, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 577, страница 239.

Условие.

577. 1) $\begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 4x^2 - 9y^2 = 27; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 5, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 4x^2 - 9y^2 = 27 \end{cases} $$

Заметим, что левая часть второго уравнения, $4x^2 - 9y^2$, является разностью квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x-3y)(2x+3y)$.

Теперь система выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ (2x-3y)(2x+3y) = 27 \end{cases} $$

Из первого уравнения известно, что $2x+3y=3$. Подставим это значение во второе уравнение:

$(2x-3y) \cdot 3 = 27$

Разделим обе части полученного уравнения на 3:

$2x-3y = 9$

Таким образом, мы получили новую, более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 2x - 3y = 9 \end{cases} $$

Сложим два уравнения, чтобы найти переменную $x$:

$(2x+3y) + (2x-3y) = 3 + 9$

$4x = 12$

$x = 3$

Подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение исходной системы ($2x+3y=3$), чтобы найти $y$:

$2(3) + 3y = 3$

$6 + 3y = 3$

$3y = 3 - 6$

$3y = -3$

$y = -1$

Проверим найденное решение $(3; -1)$ для второго уравнения исходной системы:

$4(3)^2 - 9(-1)^2 = 4 \cdot 9 - 9 \cdot 1 = 36 - 9 = 27$.

$27=27$. Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(3; -1)$.

2) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$

Область допустимых значений для этой системы определяется условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$, так как подкоренные выражения не могут быть отрицательными.

Рассмотрим первое уравнение $x - y = 5$. Его левую часть можно представить как разность квадратов, учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ \begin{cases} (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $$

Из второго уравнения известно, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 5$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$

Теперь у нас есть новая система уравнений, но уже без степеней:

$$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases} $$

Сложим два этих уравнения:

$(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 5$

$2\sqrt{x} = 6$

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 3^2 = 9$

Теперь подставим значение $\sqrt{x}=3$ в уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$, чтобы найти $y$:

$3 + \sqrt{y} = 5$

$\sqrt{y} = 5 - 3$

$\sqrt{y} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$y = 2^2 = 4$

Проверим найденное решение $(9; 4)$ в исходной системе:

Первое уравнение: $9 - 4 = 5$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: $(9; 4)$.